Differentialregning og funktioner

#0 Se vedhæftet billede.

#0. Se eventuelt https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1683664.

#1

#0 Se vedhæftet billede.

Kære Anders.

Kan du tydeliggøre trinene for mig så jeg forstår præcis hvad der sker? Bliver lidt forvirret, og dine trin er ikke beskrevet så tydeligt for mig :)

#3

Kære Anders.

Kan du tydeliggøre trinene for mig så jeg forstår præcis hvad der sker? Bliver lidt forvirret, og dine trin er ikke beskrevet så tydeligt for mig :)

Beviset i billedet for differentialkvotienten af √x er ikke det, der 'normalt' gennemgås/undervises i, så her vil jeg gerne forklare trinene for dig.

Trin 1. Opskriv ligningen √x = px + q. Dette gøres netop fordi din funktion √x og tangenten y=px+q har et fællespunktet, hvis 1.koordinat er løsning til ligningen.

Trin 2. Omskriv nu ligningen så du ender med andengradsligningen p²x² + (2pq +1)x + q²= 0. Sammenligninger din ligning med den generelle ligning ax² + bx + c = 0, ser du at konstanterne  a= p², b = 2pq+1 og c = q². 

Trin 3. Eftersom der til din ligning kun skal være én løsning, må dens diskriminant d være lig 0. Som der står i din lærebog er formlen for d givet ved d = b² - 4ac. Så i dit tilfælde er d = 0 ⇔ (2pq+1)² - 4p²q² = 0. Omskriv den ligning, så du får 2pq = ½.. 

Trin 4. Indsætter du ½ i din andengradsligning, får du p²x²  - (½)x + q²= 0. I din lærebog står der, at når d = 0, har du den generelle løsning x = -b/2a. I trin 2 fandt du at a = p² og b = 2pq+1. Altså er løsningen givet ved x = -(2pq+1)/2p².

Trin 5. Løser du ligningen  x = -(2pq+1)/p² mht p, finder du ud af at p = 1/(2√x), hvilket er det du gerne vil nå frem til, for dette er differentialkvotienten for funktionen √x

Beviset kan sagtens bruges, hvis man gerne vil slippe for grænseværdibegrebet som det ses 'traditionelle bevis'. 

Personligt har jeg aldrig set beviset ført vha. tangentligningen før. Man kan i stedet føre beviset præcis som for andre differentialkvotienter med 3-trins reglen: 

1. Differenskvotienten opskrives

2. Der reduceres. Tricket er at forlænge med , så

3. Grænseværdien for  bestemmes:

Da  for , findes der en grænseværdi for differenskvotienten (så funktionen er differentiabel), og grænseværdien er dén, vi kalder differentialkvotienten. Så konklusionen bliver

Der skal "nok" smides lidt mere forklatring på: Et par ekstra mellemregninger i 2. og lidt mere forklaring til 3., hvor du tager fat i definitionen af differentialkvotient.