Matematik

Bestem arealet af M ud fra to funktioner

14. oktober 2023 af DiamondII - Niveau: B-niveau

Nogle der kan hjælpe med a og b?

Vedhæftet fil: Screenshot 2023-10-14 at 18.19.26.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
14. oktober 2023 af ringstedLC

Brugbart svar (1)

Svar #2
14. oktober 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Int.-gr\ae nser}:g(x) &= h(x)\Rightarrow \left \{ a,b \right \}=\left \{ ...\,,... \right \} \\ A_M &= \Biggl|\int_{a}^{b}\!\bigl(g(x)-h(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\Biggr| \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. oktober 2023 af mathon

Beregn skæringspunktets x-koordinat i 1. kvadrant (x≠0).

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. oktober 2023 af mathon

$\small \textbf{a)}$

$\small A_M=\left |\int_{0}^{\ln(4)}\left (g(x)-h(x) \right )\mathrm{d}x \right |$ $\small \left |\int_{0}^{\ln(4)}g(x)-h(x)\mathrm{d}x \right |$

Brugbart svar (1)

Svar #5
14. oktober 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} G(x)\,\textup{vokser}\Rightarrow G'(x)=g(x) &\geq 0\;,\,x\in\left [ 0;\infty \right [ \\ 4\cdot \biggl(1-\frac{1}{e^x}\biggr) &\geq 0 \\ 1-\frac{1}{e^x} &\geq 0 \\ (...) &\leq 1 \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. oktober 2023 af mathon

$\small \textbf{b)}$
$\small \begin{array}{llllll}&& \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( G(x) \right )=g(x)\\\\&& g(x)\geq 0\textup{ for }x\in \left [ 0\, ;\infty \right ]\\\\&\textup{hvorfor }&G\textup{ er voksende i } \left [ 0\, ;\infty \right ] \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. oktober 2023 af mathon

$\small \textbf{a)}$

$\small A_M=\left |\int_{0}^{\ln(4)}\left (g(x)-h(x) \right )\mathrm{d}x \right |$

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. oktober 2023 af Anders521

Bemærkning:

•) De numeriske tegn vist i #2 og #7 er ikke nødvendige,da for .

•) Skal integralgrænserne bestemmes i hånden har man at

$\small \begin{align*} g(x) -h(x)&=0 \\ 4\cdot(1-e^{-x})-(e^{x}-1)&=0 \\ 4\cdot \bigg(\frac{e^{x}-1}{e^{x}} \bigg)-(e^{x}-1)&=0 \\ 4\cdot (e^{x}-1)-e^{x}\cdot (e^{x}-1) &= 0 \\ 4e^{x}-4-(e^{x})^{2}+e^{x}&=0 \\ -(e^{x})^{2}+5e^{x}-4&=0\\ (e^{x})^{2}-5e^{x}+4&=0 \\ \end{align*}$

Der er tale om en skjult 2.gradsligning: med kan den sidste omskrevne ligning skrives som

$\small y^2-5y+4=0$

Løsningerne er så , dvs. at $\small e^x=1\, \vee \,e^x=4$ . Tager man den naturlige logaritme i begge tilfælde, får man de ønskede integralgrænser: .

•) For at vise at G er voksende har man, at:

$\small \begin{align*} G'(x)=g(x)&\geq 0 \\ 4\cdot \bigg( 1- \frac{1}{e^{x}}\bigg)& \geq 0 \\ 1- \frac{1}{e^{x}}&\geq 0 \\ \frac{e^{x}-1}{e^x}&\geq0 \\ e^{x}-1&\geq 0 \\ e^x&\geq 1 \\ x&\geq 0 \\ \end{align*}$

Således er $\small G$ voksende i intervallet

•) I #6 intervallet skrevet forkert. Se ovenfor.

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. oktober 2023 af ringstedLC

#10

Ved konsekvent at tage den numeriske værdi af integralet, når der spørges til et areal, sikres det at resultatet bliver positivt, uanset opstillingen af integranden.

På niveauet er det måske ikke klart, hvorfor g er større end eller lig med h i intervallet. Årsagen til dét burde nok vises, hvis numerisk tegnene udelades.

Intervallet er, ikke

Svar #10
15. oktober 2023 af DiamondII

https://imgur.com/a/gUPXoww

ser dette korrekt ud?

Vedhæftet fil:Screenshot 2023-10-15 at 20.48.42.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
15. oktober 2023 af Anders521

#10 Nu har jeg lige beregnet arealet i GeoGebra, og jeg får det samme. Med sådan en opgave tror jeg svaret skal være eksakt.

#9 Ja, det skal være med semikolon, hverken [0; ∞] eller [0, ∞[, men [0; ∞[.

Skriv et svar til: Bestem arealet af M ud fra to funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.