Matematik

Bestem antal individer i en population, når væksthastigeden er størst.

16. oktober 2023 af Anonym706 - Niveau: A-niveau

I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antal individer i populationen til tiden t(målt i døgn). Den hastighed, hvormed N(t) vokser til tiden t, er proportional med produktet af antallet af individer til tiden t og forskellen mellem 10⁶ og antallet af individer til tiden t.

Vi får også at vide at antal individer til tiden t = 0 er 200 000.

Jeg er kommet frem til ligningen:
N(t) = 10⁶/1+4*e^0.02*t

Bestem antal individer i populationen, når væksthastigeden er størst.

Hvordan gøres dette?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2023 af mathon

Væksthastigheden er størst, når $N=\tfrac{1}{2}\cdot 10^6$

Svar #2
16. oktober 2023 af Anonym706

Tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. oktober 2023 af peter lind

Du mangler nogle parnteser

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. oktober 2023 af mathon

Detaljer i #1:

$\begin{array}{llllll} \textup{maksimum for }\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\\ \textup{kr\ae ver bl.a.}\\&&\frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( 10^6-N \right )-a\cdot N\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=0\\\\&& a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot \left ( 10^6-2N \right )=0\\\\ \textup{da }a>0\; \wedge\; \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}>0\\\textup{er}\\&& 10^6-2N=0\\\\&&N=\frac{10^6}{2}=\frac{10\cdot 10^5}{2}=5\cdot 10^5=500\,000 \end{array}$

Skriv et svar til: Bestem antal individer i en population, når væksthastigeden er størst.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.