Matematik

Koordinater til punkt på linje

18. oktober 2023 af MikeCharlie - Niveau: A-niveau

En linje $l$ indeholder punktet $P(-6,1)$ og har vektoren $\vec{v}=\binom{2}{1}$ som retningsvektor.

a) Vis at $l$ kan udtrykkes ved $l: -x+2y-8=0$

Da $\vec{v}$ er linjens retningsvektor, kan linjens normalvektor skrives som $\vec{n__l}=\binom{-1}{2}$ . Vha $P$ bestemmes således en ligning for linjen $l: -1(x-(-6))+2(y-1)=0\Leftrightarrow -x+2y-8=0$

b) Linjen $l$ er tangent til en cirkel, der har centrum i $C(11,-3)$ . Bestem en ligning for cirklen.

Radius findes vha. distanceformlen $\Rightarrow (x-11)^2+(y+3)^2=(5\cdot{\sqrt{5}})^2$

Mit spørgsmål er angående delopgave c): Bestem koordinatsættet til de punkter på linjen $l$ , der har afstanden $5$ til linjen $m$ som er givet ved ligningen $m: 3x-4y+25=0$

Hvordan griber jeg an denne opgave? Har forsøgt at tegne scenariet for hånden og er kommet frem til at jeg skal skalere $\left | \vec{n__l} \right |\cdot{k}=5$ , men jeg er måske på dybt vand. Jeg kunne måske tegne en linje, $g$ , hvor $g\perp l$ og finde det punkt hvorved afstanden er $5$ . Al hjælp modtages med kys og klap

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. oktober 2023 af jl9

Måske kan man starte med at bestemme de to yderpunkter hvor m er tangent til en cirkel med radius 5 og centrum på l.

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. oktober 2023 af peter lind

find en ligning for den vinkelrette ligning for den vinkelrette på på m gennem et et vilkårligt punkt på m. Find et udtryk for afstanden til m til linjen l udtrykt ved dit begyndelsespunkt og sæt det lig med 5.

Ligningens begyndelsespunkt kan du sætte x koordinaten ttl t og derefter af ligningen for m finde y koordinatan udtrykt ved t

Alternativ brug det rent geometrisk. Find det rent geometrisk.

find særingspunktet mellem de to linjer, Tegn dette. Skæringspunktet, de to linjer og den søgte afstand udgør en retvinklet trekant, hvor du har eller kan finde en side og to vinkler.

3. mulighed find skæringspunkterne mellem cirklen og m

Svar #3
19. oktober 2023 af MikeCharlie

Har regnet mig frem til følgende. Mine GeoGebra-skills er dog ikke on-point

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-10-19 kl. 00.10.40.png

Brugbart svar (1)

Svar #4
19. oktober 2023 af mathon

Mængden af punkter i afstanden 5 fra $\small m$
findes af:
$\small \begin{array}{llllll} \frac{3x-4y+25}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\pm5\\\\ \textbf{*)}\quad 3x-4y+25=\pm25 \end{array}$

Da punkterne også skal ligge på $\small l$
haves:
$\small x=2y-8$ som indsat i $\small \textbf{*)}$
giver
$\small 3\cdot \left ( 2y-8 \right )-4y+25=\pm25$

$\small y=\left\{\begin{matrix} -13\\12 \end{matrix}\right.$

$\small x=\left\{\begin{matrix} -34\\16 \end{matrix}\right.$

dvs punkterne
$\small \left ( -34,-13 \right )\quad \textup{og}\quad \left ( 16,12 \right )$

Skriv et svar til: Koordinater til punkt på linje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.