Matematik

Bestemme b når funktion og tangent er kendt

30. oktober 2023 af lakk (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg er ret fortvivlet over den her opgave

man har funktionen f(x)=1/2*x^3-5/2*x^2+2x+1 og der er en tangent til linjen y=1/2*x+b. Den er tangent på

2 steder for funktionen for 2 forskellige værdier af b. Hvordan bestemmer man de her b-værdier?

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. oktober 2023 af mathon

Tangenthældningen $\small \frac{1}{2}$ er lig med $\small f{\, }'(x)$ .

Svar #2
30. oktober 2023 af lakk (Slettet)

#1
Tangenthældningen $\small \frac{1}{2}$ er lig med $\small f{\, }'(x)$ .

Okay så det viser vel mig at hvis jeg løser ligningen f'(x)=1/2 vil jeg finde de steder på x-aksen hvor de to tangenter befinder sig? Men hvad kan jeg så bruge det til?

Brugbart svar (1)

Svar #3
30. oktober 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} f{\, }'(x)=\frac{1}{2}\cdot3\cdot x^{3-1}-\frac{5}{2}\cdot 2\cdot x^{2-1}+2\cdot 1\cdot x^{1-1}+0\\\\ f{\, }'(x)=\frac{3}{2}x^2-5x+2 \end{}$

Nu beregnes for hvilke x-værdier, $\small f{\, }'(x)=\tfrac{1}{2}$
dvs
$\small \begin{array}{llllll} \frac{3}{2}x^2-5x+2=\frac{1}{2}\\\\ \frac{3}{2}x^2-5x+\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=0\\\\ \frac{3}{2}x^2-5x+\frac{3}{2}=0\\\\\\ 3x^2-10x+3=0\\\\ x=\frac{-(-10)\mp\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3}=\frac{10\mp\sqrt{100-36}}{2\cdot 3}=\frac{10\mp\sqrt{8^2}}{2\cdot 3}=\frac{10\mp8}{2\cdot 3}=\frac{5\mp4}{3}=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3}\\ 3 \end{matrix}\right. \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
30. oktober 2023 af mathon

Den almene tangentligning
er:
$\small y=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)$

$\small y=f{\, }'(x_o)\cdot x+\underset{\mathbf{{\color{Red} b-v\ae rdien}}}{\underbrace{(f(x_o)-f{\, }'(x_o)\cdot x_o)}}$

i dette tilfælde
b-værdierne:
      $\small \small b=\left\{\begin{matrix} f(\frac{1}{3})-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\\ f(3)-\frac{1}{2}\cdot 3 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{38}{27}-\frac{1}{6}\\ -2-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{67}{54}\\ -\frac{7}{2} \end{matrix}\right.$

Svar #5
30. oktober 2023 af lakk (Slettet)

#4
Den almene tangentligning
er:
   $\small y=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)$

   $\small y=f{\, }'(x_o)\cdot x+\underset{\mathbf{{\color{Red} b-v\ae rdien}}}{\underbrace{(f(x_o)-f{\, }'(x_o)\cdot x_o)}}$

i dette tilfælde
b-værdierne:
      $\small \small b=\left\{\begin{matrix} f(\frac{1}{3})-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\\ f(3)-\frac{1}{2}\cdot 3 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{38}{27}-\frac{1}{6}\\ -2-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{67}{54}\\ -\frac{7}{2} \end{matrix}\right.$

Okay, tak. Jeg forstår også godt at du ganger f'(x.) ind i parentesen i tangentligning osv. Men er der ikke en simplere måde at gøre det på i stedet for at gange den ind? Kan man ikke bruge tangentligningen på dens normale form?

Brugbart svar (1)

Svar #6
30. oktober 2023 af mathon

Den "normale" form:
$\small \begin{array}{llllll} f(x)=\tfrac{1}{2}\cdot x+b\\\\ b=f(x)-\frac{1}{2}x\\& b=\left\{\begin{matrix} f(\frac{1}{3})-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\\ f(3)-\frac{1}{2}\cdot 3 \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} \frac{38}{27}-\frac{1}{6}=\frac{76-9}{54}=\frac{67}{54}\\-2-\frac{3}{2} =\frac{-4-3}{2}=\frac{-7}{2} \end{matrix}\right. \end{}$

Skriv et svar til: Bestemme b når funktion og tangent er kendt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.