Matematik

spids vinkel mellem linjer og vektorer

15. marts 2024 af Astrid2911 - Niveau: B-niveau

Hej, jeg er ret i tvivl om hvordan man løser spørgsmål b til d.

tak på forhånd

Vedhæftet fil: parameterfremstilling.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. marts 2024 af Eksperimentalfysikeren

Mellem to linier, der skærer hinanden, er der en spids vinkel og en stump vinkel. Summen af disse to vinkler er 180º.

Hvis du kender parameterfremstillingen for de to linier, kan du finde én af de to vinkler som vinklen mellem de to vektorer. Hvis det viser sig at være den stumpe vinkel, kan du bruge ovenstående tl at finde den spidse vinkel.

Hvis du har ligningerne for begge linier, kan du finde deres normalvektorer ud fra koefficienterne til x og y. Vinklen mellem normalvektorerne er lig med én af vinklerne mellem linierne.

Hvis du har ligningen for den ene linie og parameterfremstillingen for den anden, kan du finde normalvektoren til den linie, du kender ligningen til, og tage tværvektoren til den. Så har du en retningsvektor til ligningen og kan bruge afsnittet ovenfor.

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. marts 2024 af ringstedLC

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. marts 2024 af ringstedLC

Når kun den spidse vinkel søges:

$\begin{align*} \vec{a}\cdot \vec{b} &= |\vec{\,a}\,|\cdot |\,\vec{b}\,|\cdot \cos(v) &&\textup{formel (51)} \\ \textup{Hvis}:\vec{a}\cdot \vec{b} &> 0 \quad \Rightarrow\cos(v)>0 &&,\;|\vec{\,a}\,|\cdot |\,\vec{b}\,|>0 \\ & \qquad\;\;\;\Rightarrow v<90^{\circ} &&\Rightarrow v\textup{ er spids} \\ \textup{Hvis}:\vec{a}\cdot \vec{b} &< 0 \quad \Rightarrow\cos(v)<0 \\ & \qquad\;\;\;\Rightarrow v>90^{\circ} &&\Rightarrow v\textup{ er stump} \\ \bigl|\,\vec{a}\cdot \vec{b}\,\bigr| &> 0 \quad \Rightarrow \cos({\color{Red} v_\textup{spids}}) =\frac{\bigl|\,\vec{a}\cdot \vec{b}\,\bigr|}{|\vec{\,a}\,|\cdot |\,\vec{b}\,|} \end{align*}$

Så ved at tage den numeriske værdi af skalarproduktet fås kun den spidse vinkel.

I specialtilfældet:

$\begin{align*} \vec{a}\cdot \vec{b} &= 0 \quad \Rightarrow\cos(v)=0 &&\textup{Nulreglen og at}\;|\vec{\,a}\,|\cdot |\,\vec{b}\,|>0 \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
16. marts 2024 af ringstedLC

b) Omskriv begge ligninger til formen:

$\begin{align*} a\,x+b\,y &= c &&\Rightarrow \vec{n}=\binom{a}{b} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
16. marts 2024 af ringstedLC

$\begin{align*} \textup{Brug enten}:\\ a\,x+b\,y &= c &&\Rightarrow \vec{n}=\binom{a}{b} \quad\Rightarrow \vec{\,r}=\widehat{\binom{a}{b}} \\ \textup{eller}:\\ \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{r_1}{r_2} &&\Rightarrow \vec{\,r}=\binom{r_1}{r_2} \quad\Rightarrow \vec{n}=\widehat{\binom{r_1}{r_2}} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
16. marts 2024 af ringstedLC

c) eller måske nemmere, da:

$\begin{align*} t\cdot \binom{r_1}{r_2} &= -t\cdot \binom{-r_1}{-r_2} &&\Rightarrow \binom{r_1}{r_2} \parallel \binom{-r_1}{-r_2} \\ \Rightarrow \binom{-1}{2} &\,\parallel \binom{1}{-2}=\binom{1}{a}\;,\;y=a\,x+b \\ \Rightarrow \binom{x}{y} &= \binom{2}{3}+t\cdot \binom{-1}{2}\parallel y=-2x+3 &&\Rightarrow v_\textup{c)}=v_\textup{b)} \end{align*}$

og så kan du sikkert selv klare d)

Svar #7
17. marts 2024 af Astrid2911

tak for hjælpen, er bare lidt i tvivl hvad normalvektorkoordinaterne er i spørgsmål b?

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. marts 2024 af Amatøren

For linjen -x + 4y = 5, eller for linjen y = -2x + 3?

Svar #9
17. marts 2024 af Astrid2911

for linjen y = -2x + 3

Brugbart svar (1)

Svar #10
17. marts 2024 af Amatøren

For linjen givet ved ligningen -x + 4y = 5, er (-1, 4) en normalvektor, da koefficienterne -1 og 4 er de tal, der er ganget på de variable. Koordinaterne til en normalvektor til linjen, kan dog kun givet ved koefficienterne, når ligningen er givet på formen ax + by + c = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. marts 2024 af Amatøren

Havde ikke opdateret siden, så jeg antog, at det var for den anden linje..

Et øjeblik:)

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. marts 2024 af Amatøren

Linjen y = -2 + 3 er givet på formen y = f(x) = ax + b.

Der er flere måder at gøre det på. Den ene måde at gøre det på, er at vi kan omskrive ligningen til formen

ax + by + c = 0 og derved aflæse en normalvektor. Det er dog vigtigt at have for øje, at a og b ikke længere de samme konstanter som a og b i formen y = ax + b.

En anden, efter min mening, nemmere måde, hvorpå vi kan finde en normalvektor, er at bruge hældningskoefficienten. Af regneforskriften y = -2x + 3, kan vi jo aflæse hældningskoefficienten til -2. Heraf, må retningsvektoren til linjen være givet ved (1, -2).

Vi har nu en retningsvektor, som vi kan bruge til at finde en normalvektor. Normalvektoren er givet ved hatvektoren/ tværvektoren til retningsvektoren.

Altså er (2, 1) en normalvektor for linjen med ligningen y = -2x + 3.

Skriv endelig, hvis ikke det giver mening eller hvis noget skal uddybes.

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. marts 2024 af Amatøren

Grafisk illustration af #12:

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2024-03-17 153426.png

Svar #14
17. marts 2024 af Astrid2911

Tusind tak for hjælpen, er ville du så også mene at den anden linje -x + 4y = 5 ville have normalvektorkoordinaterne (-1,4) ?

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. marts 2024 af Amatøren

Selv tak,

Og ja, det er helt korrekt :)

Brugbart svar (0)

Svar #16
17. marts 2024 af Eksperimentalfysikeren

Den nemmeste måde at finde normalvektoren til y=-2x+3 er at trække højresiden fra på begge sider af lighedstegnet, og så bruge den samme formel som for den anden linie:

y-(-2x+3)=0

y+2x-3=0

2x+y-3=0

Normalvektor: (2,1)

Skriv et svar til: spids vinkel mellem linjer og vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.