Matematik

En funktion f er givet ved f(x)=ln⁡(x)+x+3 Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2))

04. april kl. 15:28 af lauraschus - Niveau: B-niveau

Hvordan gør jeg dette? Jeg har mega svært ved differentialregning så en meget grundig forklaring ville være dejligt.

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. april kl. 16:17 af peter lind

Tangentens ligning for en graf f(x) i (x0, f(x0)) er y = f'(0)(x-x0) + f(x0)

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. april kl. 16:27 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} f(x)=\ln(x)+x+3,& x>0&&f(2)=\ln(2)+2+3&=&&\ln(2)+5\\\\ f{}'(x)=\frac{1}{x}+1&&&f{\, }'(2)=\frac{1}{2}+1&=&&\frac{3}{2}\\\\\\ \textup{Tangentligning}\\\textup{i }P(2,f(2))\textup{:}\\&&&y=f{\, }'(2)\cdot \left (x-2 \right )+f(2) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. april kl. 16:56 af Depresso

At aflede (differentiere) en funktion finder hældningen af tangenten på funktionen ved værdien x.

Dvs. at hvis jeg har en funktion fx. $f(x)=ln(x)+x+3$ og jeg vælger at differentiere den. Den nye funktion giver mig hældningen af tangenten der berører f(x). Dvs. hældningen på tangenten ved f(2) er f'(2)

Her er et eksempel på hvordan man differentiere en funktion

Når man differentiere ganger man variablen med potensen og subtrahere 1 fra potensen.

$f(x) = 5x^{2}+3x^{1}+2x^{0} = 5x^2+3x+2$

Bliver til

$f'(x) = 10x^{1}+3x^{0}+2x^{-1} = 10x+3$

Konstanten forsvinder fordi

$2x^0 \rightarrow 2*0*x^{-1}\rightarrow 0$

Så nu skal vi bare differentiere din funktion, og beregne hvor den skærer y-aksen.

Sumreglen siger at hvis vi har to led der bliver summeret kan vi differentiere dem hver for sig og addere dem bagefter:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f(x)+g(x)] = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}g(x)$

Så vores funktion bliver til

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ln(x)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}3$

Lad os starte med $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}3$

Siden den er en konstant forsvinder den bare. Så vi kan bare glemme den.

At differentere x ser såden her ud:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x= x^1\rightarrow 1*x^{0}\rightarrow 1*1\rightarrow 1$

ln(x) er lidt svær at bevise men det eneste du skal vide er at

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}ln(x)= \frac{1}{x}$

Så vores differentieret funktion bliver til:

$f'(x)=\frac{1}{x}+1$

Hældningen på funktionen f(2) er f'(2). Så lad os regne f(2):

$f'(2)=\frac{1}{2}+1=1.5$

Så formlen på den linje der tangere f(2) er:

$y=1.5x+b$

Vi ved at linjen går igennem (2,f(2)) så lad os beregne b-værdien:

$1.5*2+b=f(2)$

bliver til

$1.5*2+b=5,69314$

$3+b=5,69314$

$b=2,69314$

Så alt i alt er ligningen for linjen der tangere punkt (2,f(2)) på funktionen f(x)=ln(x)+x+3 følgende:

$y=1.5x+2.69314$

evt. se billedet.

Håber det besvarede ddit spørgsmål.

Vedhæftet fil:Geogebra.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. april kl. 08:54 af Depresso

Lavede en fejl under denne forklaring, den burde se mere sådan her ud når du differentiere en funktion:

$f(x) = 5x^{2}+3x^{1}+2x^{0} = 5x^2+3x+2$

bliver differentieret til

$f'(x) = 2*5x^{1}+1*3x^{0}+0*2x^{-1} = 10x^1+3$

Skriv et svar til: En funktion f er givet ved f(x)=ln⁡(x)+x+3 Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2))

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.