Matematik

Vektorer

30. maj kl. 15:07 af Fabel6358 - Niveau: A-niveau

Hej derude 

Jeg har fået givet de her punkter A(2,-3), B(6,2) og C(-2,-1)

Jeg skal finde siderne og vinklerne i trekanten ABC, så jeg startede med at finde forbindelsesvektorerne hhv.

AB = (4,5)

BC = (-8,-3)

AC = (-4,2)

Derefter fandt jeg så længden af alle siderne hhv

IABI = √41

IBCI = √73

IACI = √20

Dog når det kom til vinklerne blev det et problem
Jeg får vinkel A til 102,09 grader, hvilket stemmer overns med min facitliste 

Jeg får vinkel C til 47,12 grader, hvilket og stemmer overns med min facitliste 

Men når jeg skal regne vinkel B gør jeg således: -47/√41*√73 = cos(v) = cos^-1(−0.859924) = 149,308.

OG DET GIVER BARE INGEN MENING. 

For når jeg også tegner vektorerne, jamen så stemmer vinklerne overens med tegning, men ikke med mine beregninger. HÅBER DER ER NOGEN DER KAN HJÆLPE MIG MED AT FINDE MIN FEJL, TAK!!


Brugbart svar (0)

Svar #1
30. maj kl. 15:44 af Anders521

#0 Skal vinkelsummen i en trekant ikke være 180º ?


Svar #2
30. maj kl. 15:48 af Fabel6358

Jo jeg kan godt se argumentet med at subtrahere 2 vinkler fra 180 og så udlede den sidste vinkel, men jeg kan stadig ikke forstå hvorfor jeg kan tegne mig til facittet for vinklen B, men ikke regne mig til det.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. maj kl. 15:48 af MentorMath

#0

Hej,

Flot indsats, du er meget tæt på! (jeg har ikke regnet efter i opgave a, men det ser fornuftigt ud)

Når vi i opgave b) tager den cos-1 (arcus-cosinus), får vi i dette tilfælde den stumpe vinkel, ikke den spidse, som er den vinkel vi ønsker at finde.

Vi skal derfor sige 180º - 149,308 ≈ 30,692º (idet vinkelsummen i en trekant er 180º).

Heraf får vi, hvis vi tjekker at 102,09º + 47,12º + 30,692º ≈ 180º (ikke eksakt, da vi kun har tre decimaler).

Giver det mening angående den stumpe- og spidse vinkel, eller vil du gerne se et eksempel udfra en skitse af situationen?

Tilføjelse: Beklager, jeg havde ikke opdateret siden, så havde ikke set, at indlæget allerede var besvaret..


Svar #4
30. maj kl. 15:50 af Fabel6358

Okay, ja det ville være rart hvis jeg kunne se en skitse.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. maj kl. 16:09 af MentorMath

Selvfølgelig:)

Jeg har forsøgt at vise det med en skitse (jeg tegner med en mus, så det er lidt primitivt).

Selve forklaringen bag hvorfor vi får den stumpe vinkel og ikke den spidse, har at gøre med, hvordan de to vektorer ligger i forhold til hinanden. Vi kan forstille os, at vi "forlænger" AB.

PS: En lille pedantisk bemærkning. Vektorer angives normalt altid med fed typografi, når de skrives på en computer, samlignet med at vi sætter en vektorpil/vektorstreg over eller under vektoren, når vi skriver i hånden.

Rettelse: Det er egentligt ikke en helt præcis forklaring jeg kommer med. I stedet for at se det som at vi forlænger vektoren, er det mere korrekt at forestille sig, at vi tegner vektor AB i begyndelsen af vektor BC. Man siger, at "en vektor er altid sig selv", hvilket betyder, at det er samme vektor, uanset hvor i koordinatsystemet vi tegner den. Derfor må vi godt tegne vektor AB i begyndelsen af vektor BC; det er stadig den samme vektor.


Brugbart svar (0)

Svar #6
30. maj kl. 16:20 af MentorMath

#4

Dette er egentligt en mere korrekt måde at se det på.


Svar #7
30. maj kl. 16:23 af Fabel6358

Aha, det kan jeg se. Jeg skal sp bare korrigere for at subtrahere den fundne vinkel ved 180 tak

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. maj kl. 17:29 af MentorMath

#7

Ja, ligenetop.

Du kan eksempelvis kalde den stumpe vinkel mellem AB og BC for vstump og skrive

vstump = ... = cosο-1(−0,859924) ⇒ B = 180º - cosο-1(−0,859924) = 180º - 149,308º ≈ 30,692º.

cosο-1(−0,859924)

NB: Det er ikke et grader-symbol, men notationen for en omvendt funktion.

Normalt skriver man ofte blot cos-1(x), men dette kan skabe forvirring, da vi jo ikke mener

(cos(x))-1 = 1/(cos(x)). 


Brugbart svar (0)

Svar #9
30. maj kl. 21:41 af ringstedLC

#0 "Problemet" opstår fordi skalarproduktet i tælleren her er negativt. Og da nævneren altid er positiv bestemmer skalarproduktets fortegn om v er spids eller stump:

\begin{align*} \cos\bigl(v\bigr) &= \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left |\vec{a} \right |\cdot |\vec{b}\,|} &&\quad \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \cos(v)\geq 0 &&,\;\vec{a}\cdot \vec{b}\geq 0 \\ \cos(v)<0 &&,\;{\color{Red} \vec{a}\cdot \vec{b}< 0} \end{matrix}\right. \\ &&&\quad \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0^{\circ}\leq v\leq 90^{\circ} &&,\;\vec{a}\cdot \vec{b}\geq 0 \\ 90^{\circ}< v< 180^{\circ} &&,\;\vec{a}\cdot \vec{b}< 0 \end{matrix}\right. \end{align*}

Det løses nemmest ved at bruge:

\begin{align*} \cos\bigl(v_{spids}\bigr) =\frac{\left |\,\vec{a}\cdot \vec{b}\, \right |}{\left |\vec{a} \right |\cdot |\vec{b}\,|} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #10
31. maj kl. 01:36 af Anders521

Fra MentorMath

Vedhæftet fil:MentorMath.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. maj kl. 09:27 af mathon

eller

             \small \small \small \begin{array}{lllllll}a=\sqrt{73}\qquad b=\sqrt{20}\qquad c=\sqrt{41}\\\\ A=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{a^2-\left ( b-c \right )^2}}{\sqrt{\left ( b+c \right )^2-a^2}}\right )\\\\\\ B=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{b^2-\left ( a-c \right )^2}}{\sqrt{\left ( a+c \right )^2-b^2}}\right )\\\\\\ C=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{c^2-\left ( a-b\right )^2}}{\sqrt{\left ( a+c \right )^2-c^2}}\right ) \end{}
                 


Brugbart svar (0)

Svar #12
31. maj kl. 09:59 af mathon

rettelse:

               \small \begin{array}{lllllll}\\\\\\ C=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{c^2-\left ( a-b\right )^2}}{\sqrt{\left ( a+{\color{Red} b} \right )^2-c^2}}\right ) \end{}


Brugbart svar (0)

Svar #13
31. maj kl. 10:31 af mathon

\small \small \begin{array}{lr}a=\sqrt{73}\qquad b=\sqrt{20}\qquad c=\sqrt{41}\\\\ A=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{a^2-\left ( b-c \right )^2}}{\sqrt{\left ( b+c \right )^2-a^2}}\right )=2\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt{73-\left ( \sqrt{20}-\sqrt{41} \right )^2}}{\sqrt{\left (\sqrt{20}+\sqrt{41} \right )^2-73}} \right )=&102.10\degree\\\\\\ B=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{b^2-\left ( a-c \right )^2}}{\sqrt{\left ( a+c \right )^2-b^2}}\right )=2\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt{20-\left ( \sqrt{73}-\sqrt{41} \right )^2}}{\sqrt{\left (\sqrt{73}+\sqrt{41} \right )^2-20}} \right )=&30.78\degree\\\\\\ C=2\cdot \tan^{-1}\left (\frac{\sqrt{c^2-\left ( a-b\right )^2}}{\sqrt{\left ( a+b \right )^2-c^2}}\right )= 2\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt{41-\left (\sqrt{73}-\sqrt{20} \right )^2}}{\sqrt{\left (\sqrt{73}+\sqrt{20} \right )^2-41}} \right )=&47.12\degree \end{}


Brugbart svar (0)

Svar #14
31. maj kl. 10:48 af AMelev

#0  Hvis man skal benytte vektorer til at finde vinkler i en trekant og gerne vil være rar ved sig selv, så benytter man de vektorer der begge starter i vinkelspidsen, dvs. vA = v(AB,AC), vB = v(BA,BC) og vC =v(CA,CB), så er man sikker på at få de rigtige vinkler.


Brugbart svar (0)

Svar #15
31. maj kl. 13:47 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} -4\\-5 \end{pmatrix}\qquad \left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \overrightarrow{BA} \right |=\sqrt{4^2+5^2}&=&\sqrt{41}\\\\ \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -8\\-3 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{CB}=\begin{pmatrix} 8\\3 \end{pmatrix}\qquad \left | \overrightarrow{BC} \right |=\left | \overrightarrow{CB} \right |=\sqrt{8^2+3^2}&=&\sqrt{73}\\\\ \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -4\\2 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{CA}=\begin{pmatrix} 4\\-2 \end{pmatrix}\qquad \left | \overrightarrow{AC} \right |=\left | \overrightarrow{CA} \right |=\sqrt{4^2+2^2}&=&\sqrt{20}\\\\\\ \end{}


Brugbart svar (0)

Svar #16
31. maj kl. 14:03 af mathon

\small \begin{array}{llllllll} \cos(A)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\ \end{smallmatrix}\bigr)}{\left | \overrightarrow{AB} \right |\cdot \left | \overrightarrow{AC} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} 4\\5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4\\2 \end{pmatrix}}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{20}}=\frac{-6}{2\cdot \sqrt{205}}=\frac{-3}{\sqrt{205}}\\\\ A=\cos^{-1}\left (\frac{-3}{\sqrt{205}} \right )=102.10\degree\\\\\\ \cos(B)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}\\ \end{smallmatrix}\bigr)}{\left | \overrightarrow{BA} \right |\cdot \left | \overrightarrow{BC} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} -4\\-5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -8\\-3 \end{pmatrix}}{\sqrt{41}\cdot \sqrt{73}}=\frac{47}{\sqrt{2993}}\\\\ B=\cos^{-1}\left (\frac{47}{\sqrt{2993}} \right )=30.78\degree\\\\ \end{}


Brugbart svar (0)

Svar #17
31. maj kl. 14:11 af mathon

\small \small \small \begin{array}{lllllll} \cos(C)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}\\ \end{smallmatrix}\bigr)}{\left | \overrightarrow{CA} \right |\cdot \left | \overrightarrow{CB} \right |}=\frac{\begin{pmatrix} 4\\-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 8\\3 \end{pmatrix}}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{73}}=\frac{26}{2\cdot \sqrt{365}}=\frac{13}{ \sqrt{365}}\\\\ C=\cos^{-1}\left (\frac{13}{\sqrt{365}} \right )=47.12\degree \end{}


Skriv et svar til: Vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.