Vektorer

#0 Skal vinkelsummen i en trekant ikke være 180º ?

#0

Hej,

Flot indsats, du er meget tæt på! (jeg har ikke regnet efter i opgave a, men det ser fornuftigt ud)

Når vi i opgave b) tager den cos^-1 (arcus-cosinus), får vi i dette tilfælde den stumpe vinkel, ikke den spidse, som er den vinkel vi ønsker at finde.

Vi skal derfor sige 180º - 149,308 ≈ 30,692º (idet vinkelsummen i en trekant er 180º).

Heraf får vi, hvis vi tjekker at 102,09º + 47,12º + 30,692º ≈ 180º (ikke eksakt, da vi kun har tre decimaler).

Giver det mening angående den stumpe- og spidse vinkel, eller vil du gerne se et eksempel udfra en skitse af situationen?

Tilføjelse: Beklager, jeg havde ikke opdateret siden, så havde ikke set, at indlæget allerede var besvaret..

Selvfølgelig:)

Jeg har forsøgt at vise det med en skitse (jeg tegner med en mus, så det er lidt primitivt).

Selve forklaringen bag hvorfor vi får den stumpe vinkel og ikke den spidse, har at gøre med, hvordan de to vektorer ligger i forhold til hinanden. Vi kan forstille os, at vi "forlænger" AB.

PS: En lille pedantisk bemærkning. Vektorer angives normalt altid med fed typografi, når de skrives på en computer, samlignet med at vi sætter en vektorpil/vektorstreg over eller under vektoren, når vi skriver i hånden.

Rettelse: Det er egentligt ikke en helt præcis forklaring jeg kommer med. I stedet for at se det som at vi forlænger vektoren, er det mere korrekt at forestille sig, at vi tegner vektor AB i begyndelsen af vektor BC. Man siger, at "en vektor er altid sig selv", hvilket betyder, at det er samme vektor, uanset hvor i koordinatsystemet vi tegner den. Derfor må vi godt tegne vektor AB i begyndelsen af vektor BC; det er stadig den samme vektor.

#4

Dette er egentligt en mere korrekt måde at se det på.

#7

Ja, ligenetop.

Du kan eksempelvis kalde den stumpe vinkel mellem AB og BC for v_stump og skrive

v_stump = ... = cos^ο-1(−0,859924) ⇒ B = 180º - cos^ο-1(−0,859924) = 180º - 149,308º ≈ 30,692º.

cos^ο-1(−0,859924)

NB: Det er ikke et grader-symbol, men notationen for en omvendt funktion.

Normalt skriver man ofte blot cos^-1(x), men dette kan skabe forvirring, da vi jo ikke mener

(cos(x))^-1 = 1/(cos(x)). 

#0 "Problemet" opstår fordi skalarproduktet i tælleren her er negativt. Og da nævneren altid er positiv bestemmer skalarproduktets fortegn om v er spids eller stump:

Det løses nemmest ved at bruge:

Fra MentorMath

eller

rettelse:

#0  Hvis man skal benytte vektorer til at finde vinkler i en trekant og gerne vil være rar ved sig selv, så benytter man de vektorer der begge starter i vinkelspidsen, dvs. vA = v(AB,AC), vB = v(BA,BC) og vC =v(CA,CB), så er man sikker på at få de rigtige vinkler.