Matematik

HASTER Vinklen mellem to rette linjer

01. juni 2024 af lollipopmaa - Niveau: B-niveau

Hej, jeg skal til eksamen her om et par dage, og jeg prøver at lærer, hvordan man udregner vinklen mellem to vektorer. Dog har jeg kommet gennem ekstremt mange forskellige løsninger på internettet (bl.a. gennem cos/tan, skalarproduktet, bruge retningsvektor og/eller normalvektor) og dette forvirrer mig helt vildt. Jeg kan overhovedet ikke forstå det længere. Har meget brug for hjælp, så ethvert svar vil jeg sætte pris på

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. juni 2024 af ringstedLC

#0 Det skyldes nok at du forveksler vektorer og linjer, se bare din titel og i den første sætning.

Vinklen mellem to vektorer:

$\begin{align*} \cos(v) &= \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} &&\textup{formel (52)} \\ &= \frac{a_1\,b_1+a_2\,b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}} &&,\;\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\;,\;\vec{b}=\binom{b_1}{b_2} \end{align*}$

Den kan altså beregnes når de to vektorers koordinater er kendte.

Vinklen mellem to linjer afhænger af hvordan linjerne er beskrevet:

- er de opgivet fx ved ligningerne:

$\begin{align*} l:0 &=a_1\,x+a_2\,y+c \Rightarrow \vec{n}_l=\binom{a_1}{a_2} \\ m:0 &=b_1\,x+b_2\,y+c \Rightarrow \vec{n}_m=\binom{b_1}{b_2} \end{align*}$

haves linjernes normalvektorer og formel (52) anvendes.

- er de opgivet fx ved ligningerne:

$\begin{align*} l:y &=a_l\,x+b_l\Rightarrow \vec{\,r}_l=\binom{1}{a_l} \\ m:y &=a_m\,x+b_m \Rightarrow \vec{\,r}_m=\binom{1}{a_m} \end{align*}$

haves linjernes retningsvektorer og igen kan formel (52) anvendes. Dette gælder selvsagt også ved parameterfremstillinger af linjerne.

- eller:

$\begin{align*} l: y &= \tan(v_l)\cdot x+b_l &&,\; \tan(v_l)=a_l &&\textup{formel (66)} \\ m: y &= \tan(v_m)\cdot x+b_m &&,\;\tan(v_m)=a_m \\ v &= \big|v_l-v_m\bigr| \\ \Rightarrow v &= \big|\tan^{-1}(a_l)-\tan^{-1}(a_m)\bigr|\end{align*}$

Endeligt: Hvis linjerne er opgivet på en blanding af formerne må der omskrives til det mest praktiske.

Svar #2
01. juni 2024 af lollipopmaa

Tusind tak!!

Skriv et svar til: HASTER Vinklen mellem to rette linjer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.