Matematik

Bevis den jævne cirkelbevægelse

18. juni kl. 22:14 af Sigurdsen - Niveau: A-niveau

Hejsa

er der nogen der kan hjælpe mig med at argumenter for at hastighedsvektoren står vinkelret på s(t), for den jævne cirkelbevægelse. Jeg har vedhæftet spørgsmålet, hvor det blot den nederste del jeg skal bevise/argumenter. Jeg ved at man kan vise at accelerationsvektoren og stedvektoren er ortogonale vha. prikproduktet og på den måde fremvise en sammenhæng ved dog ikke helt hvordan jeg lige gøre det. Nogen der kan hjælpe ?


Brugbart svar (0)

Svar #1
18. juni kl. 22:32 af MentorMath

Hej,

Det er korrekt, at du kan vise det ved brug af prikproduktet (skalarproduktet).

Har du differentieret stedfunktionen til en start? :)


Brugbart svar (0)

Svar #2
18. juni kl. 22:55 af ringstedLC

Hastighedsvektoren er den differentierede stedvektor. Bestem den. Opstil så deres prikprodukt og vis at det giver "0".


Brugbart svar (0)

Svar #3
18. juni kl. 23:01 af MentorMath

#0

Hvis du går i stå.

(Beklager den primitive måde, vedr. billedfilen). Håber at metoden fremgår klart trods alt.


Svar #4
18. juni kl. 23:26 af Sigurdsen

Yes det var super hjælpsomt, havde en ide om det var sån det skulle laves. Men det er ikke nødvendigt og bruge accelerationsvektoren til at vise at hadtighedsvektoren står vinkelret med stedvektoren for en jævn cirkelbevægelse vel?

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. juni kl. 00:59 af ringstedLC

#4 Nej, der er ingen grund til at blande en tredje vektor ind i argumentationen.

\begin{align*} \vec{\,s}(t) &= r\cdot \binom{\cos(\omega\,t)}{\sin(\omega\,t)} &\Rightarrow \vec{\,v}(t) &= r\,\omega \binom{-\sin(\omega\,t)}{\cos(\omega\,t)} \\ \vec{\,s}(t) \parallel \vec{\,a}(t) &= \binom{\cos(\omega\,t)}{\sin(\omega\,t)} &,\; \vec{\,v}(t) \parallel \vec{b}(t) &= \binom{-\sin(\omega\,t)}{\cos(\omega\,t)} \\ && \widehat{\binom{\cos(\omega\,t)}{\sin(\omega\,t)}} &= \binom{-\sin(\omega\,t)}{\cos(\omega\,t)} \\ &&\Rightarrow \widehat{\vec{\,a}\,}(t) &\,\parallel \vec{b}(t) \\ &&\Rightarrow \vec{\,a}(t) &\perp \vec{b}(t) \Rightarrow \vec{\,s}(t) \perp \vec{\,v}(t) \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #6
19. juni kl. 08:01 af MentorMath

#4

Dejligt at høre - og kan se, at der allerede er givet et svar i #5.

Vedr. #3:

Det er selvfølgelig noget vrøvl, at t skal løbe fra 0 til 2π, da vi bevæger os en fuld omgang rundt i cirklen på tiden 2π/ω.

Altså:

cos(ω(2π/ω)) = cos(2π) og samme for sinusfunktionen.

Hvis argumentet altid skal være større end eller lig med 0 samt mindre end eller lig med 2π, fås altså at t skal løbe i det lukkede interval fra 0 til (2π/ω), 

dvs. t ∈ [0, (2π/ω)].

Jeg undskylder...


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. juni kl. 10:05 af oppenede

Bemærk at spørgsmålets sidste del er bizart formuleret.

s(t) og s'(t) er vinkeltrette hvis centrum er i origo, men ingen af de 5 første google resultater for 'jævn cirkelbevægelse' indfører den betingelse til begrebet. Kun at farten er konstant bliver pålagt, hvilket ingen indvirken har på om s(t) og s'(t) er vinkeltrette.

Forskriften i spørgsmålets sidste del er godt nok en cirkel hvor s(t) og s'(t) er vinkeltrette, men det har intet at gøre med at cirkelbevægelsen er jævn.


Brugbart svar (0)

Svar #8
08. juli kl. 10:14 af mathon

Af jævn cirkelbevægelse,
følger:
                  s'(t) vinkelret på s(t)
       og
                  s''(t) modsat rettet s(t)

hvorfor påstanden i #7 hvilket ingen indvirken har på om s(t) og s'(t) er vinkeltrette
er forkert.


Brugbart svar (0)

Svar #9
08. juli kl. 10:46 af mathon

Cirkelbevægelse:

                               \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\varphi )\\ r\cdot \sin(\varphi ) \end{pmatrix}

                               \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\varphi )\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ \\r\cdot \cos(\varphi )\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}

                                \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cos(\varphi )\left ( \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\sin(\varphi )\frac{\mathrm{d} ^2\varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ \\-r\sin(\varphi )(\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t})^2+r\cos(\varphi )\frac{\mathrm{d} ^2\varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}

som for den jævne cirkelbevægelse
hvor
           \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega          \frac{\mathrm{d}^2 \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0     og    \varphi =\omega t+\varphi _0

giver:

                               \overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\omega t+\varphi _0 )\\ r\cdot \sin(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}

                               \overrightarrow{v}(t)= \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\omega\cdot \begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\omega t+\varphi _0 ) \\ r\cdot \cos(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}=\omega \cdot \widehat{\overrightarrow{r}}

                                         v=\omega \cdot r

                                \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\omega ^2\cdot \begin{pmatrix} -r\cos(\omega t+\varphi _0) \\-r\sin(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}=\omega ^2\cdot \left ( -\overrightarrow{r} \right )=-\omega ^2\cdot \overrightarrow{r}

                                         a=\omega ^2r=\frac{(\omega r)^2}{r}=\frac{v^2}{r}


Brugbart svar (0)

Svar #10
10. juli kl. 08:04 af mathon

Korrektion for forvirrende dobbeltbrug af r:

Cirkelbevægelse:

                               \overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\varphi )\\ r\cdot \sin(\varphi ) \end{pmatrix}

                               \overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{s}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\varphi )\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ \\r\cdot \cos(\varphi )\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}

                                \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cos(\varphi )\left ( \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\sin(\varphi )\frac{\mathrm{d} ^2\varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ \\-r\sin(\varphi )(\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t})^2+r\cos(\varphi )\frac{\mathrm{d} ^2\varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}

som for den jævne cirkelbevægelse
hvor
           \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega\;(\textup{konstant})          \frac{\mathrm{d}^2 \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0     og    \varphi =\omega t+\varphi _0

giver:

                               \overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\omega t+\varphi _0 )\\ r\cdot \sin(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}

                               \overrightarrow{v}(t)= \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{s}}{\mathrm{d} t}=\omega\cdot \begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\omega t+\varphi _0 ) \\ r\cdot \cos(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}=\omega \cdot \widehat{\overrightarrow{s}}

                                         v=\omega \cdot r

                                \overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\omega ^2\cdot \begin{pmatrix} -r\cos(\omega t+\varphi _0) \\-r\sin(\omega t+\varphi _0 ) \end{pmatrix}=\omega ^2\cdot \left ( -\overrightarrow{s} \right )=-\omega ^2\cdot \overrightarrow{s}

                                         a=\omega ^2\cdot r=\frac{(\omega\cdot r)^2}{r}=\frac{v^2}{r}


Brugbart svar (0)

Svar #11
13. juli kl. 09:48 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \textup{Bem\ae rk:}\\&&\left | \overrightarrow{s}(t) \right |=&\sqrt{\left (r\cdot \cos \left ( \omega t+\varphi \right ) \right )^2+\left ( r\cdot \sin\left ( \omega t+\varphi \right ) \right )^2}=\\\\&&&\sqrt{r^2\cdot \left (\cos^2 \left ( \omega t+\varphi \right ) +\sin^2 \left ( \omega t+\varphi \right )\right )}=\\\\&&& \sqrt{r^2\cdot 1}=r \end{}


Skriv et svar til: Bevis den jævne cirkelbevægelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.