Matematik

Sigma algebra, Powersæt og tællelige mængder opgave

03. oktober 2024 af Jens2354 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej folkens. Jeg har fået følgende opgave:

Lad X være en tællelig mængde. En familie (skrevet )G ⊆ P(X) af delmængder af X siges at separere punkter i X, hvis der til alle x, y ∈ X med x ≠ y findes G ∈ (skrevet) G, så G kun indeholder en af x og y, dvs. G ∩ {x, y} enten er {x} eller {y}.

Betragt nu tilfældet, hvor X = Z og (skrevet ) G = {kZ : k ∈ N}, og hvor kZ = {kn : n ∈ Z}. Vis at σ( (skrevet) G) ≠ P(Z).

Jeg må indrømme jeg er lidt på bar bund her. Jeg tænker lidt ligheden burde være sand hvis vi arbejdede i N, men kan ikke lige regne ud hvordan jeg skal vise, at det at skifte til Z gør det falsk... Så hvis nogen har nogle gode ideer er jeg lutter øre

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. oktober 2024 af SådanDa

For ethvert $G\in\mathcal{G}$ gælder at $x\in G \Rightarrow G\cap\{-x, x\}=\{-x, x\}$ og $x\notin G \Rightarrow G\cap\{-x, x\}=\emptyset$ , i hvert fald for x≠0. Det vil altså sige at $\mathcal{G}$ ikke separerer x og -x.

For et fast x≠0, betragt da familien K={S⊆Z: {-x,x}⊆S eller S∩{-x,x}=∅} Altså familien af alle delmængder af Z som enten indeholder både -x og x eller hverken -x eller x,

Da må $\mathcal{G}\subseteq K$ . K er endvidere en σ-algebra i Z (det er ligetil at tjekke). Så derfor har vi også at $\sigma(\mathcal{G})\subseteq K$ så den separerer altså heller ikke punkter i X. Da P(Z) oplagt separerer punkter i Z har vi altså:

$\sigma(\mathcal{G})\neq \mathcal{P}(\mathbb{Z})$

Skriv et svar til: Sigma algebra, Powersæt og tællelige mængder opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.