Lige nu 19 online.
Persondatapolitik
Studieportalen.dk anbefaler:
Nyeste indlæg i Matematik

Matematik

Lineær Algebra, To ligninger med to ubekendte og tre ligninger med tre ubekendte, Opgave1.2.3 og opgave 1.2.4. (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

02. november 2024 af ca10 - Niveau: A-niveau

I den vedhæftede fil ses opgaverne i 1.2.3. og 1.2.4 og facit (på norsk)

Det er opgave 1.2.4 jeg har brug for hjælp til at løse.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Opgave 1.2.3

Finn eventuelle løsninger av følgende ligningssystemer og gi en grafisk illustration av hvert tilfælde i xy - planet

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(  i )     

       

         x  -  3y  =  2

        2x +  y   =  4

Mit forsøg det er to ligninger med to ubekendte:  

1)        x  -  3y  =  2

          2x +  y   =  4

2) ganger den øverste ligning med tallet 2. 

      2 • x  -  3 • y  =  2

        2 • x +  y     =  4

og trækker den nederste ligning fra den øverste

        2 • x  -  6 • y  =   4

        -2 • x -  y     =   - 4

    ___________________

            0 • x - 7 • y = 0

                           y  = 0

indsætter y = 0 i den øverste ligning

  2 • x  -  6 •0  =   4

              2 • x   =  4

                   x    =  2

Facit er x = 2 og y = 0

Det passer med facit

_________________________

I (iii)

 x  -  3y   =    2

2x  +  y   =    4

5x  -  8y  =  10

kan man indsætter x = 2 og y = 0 fra den foregående og gør prøve.

_______________________________________________________

Den opgave jeg har brug for hjælp til at løse er 

1.2.4 

Prøv a finne en metode til å løse følgende ligningssystem og finn løsningen

     x1  +  x2   +  2x3   =   5

  2x1   +  x2   +   x3    =   5

    x1  +  2x2  +  3x3    =  8

Mit spørgsmål er, hvilken metode skal man anvende til at løse ligninssystemet tre ligninger med tre ubekendte?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Ogave og facit.png
Brugbart svar (1)

Svar #1
02. november 2024 af mathon

Brug Cramers regel.

Brugbart svar (1)

Svar #2
02. november 2024 af ringstedLC

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

3. Løs de to ligninger med to ubekendte.

4. Indsæt løsningerne i den første ligning og bestem den sidste ubekendte.

Brugbart svar (1)

Svar #3
02. november 2024 af mathon

                                                              \begin{array}{lllll}& I\textup{:}&x_1+x_2+2x_3=5\\& II\textup{:}&2x_1+x_2+x_3=5\\& III\textup{:}&x_1+2x_2+3x_3=8\\\\\\&& D=\left|\begin{matrix}1&1&2\\2&1&1\\1&2&3 \end{}\right|=2\\\\\\&& D_{x_{1}}=\left|\begin{matrix}5&1&2\\5&1&1\\8&2&3 \end{}\right|=2\\\\\\&&D_{x_{2}}=\left|\begin{matrix}1&5&2\\2&5&1\\1&8&3 \end{}\right|=4\\\\\\&&D_{x_{3}}=\left|\begin{matrix}1&1&5\\2&1&5\\1&2&8 \end{}\right|=2\\\\\\&& x_1=\frac{D_{x_{1}}}{D}=\frac{2}{2}=1\\\\&& x_2=\frac{D_{x_{2}}}{D}=\frac{4}{2}=2\\\\&& x_3=\frac{D_{{x_{3}}}}{D}=\frac{2}{2}=1 \end{}

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. november 2024 af ringstedLC

1.2.3. (ii)

\begin{align*} a\,x-b\,y=c_1 &\,\wedge\, 2\,a\,x-2\,b\,y=c_2 \\ \Rightarrow \vec{n}_1 &= 2\cdot\vec{n}_2 \\ \Rightarrow y_1 &\,\parallel\, y_2 && \Rightarrow L=... \end{}

Svar #5
02. november 2024 af ca10

Tak for svarene

Jeg ser nærmere på det 

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
03. november 2024 af Anders521

#5 Alternativ til #2 og #3 kan det lineære ligningssystem omformes til ækvivalente systemer. Der lånes en definition fra bogen "Lineær Algebra" af Frank Hansen og Mogens N. Olsen: 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Omformningerne æij(c), øi(c) og åij af et lineært ligningssystem bestående af m ligninger med n ubekendte defineres ved:

 æij(c)  : For i ≠ j multipliceres den j'te ligning med konstanten c, og resultatet lægges til den i'te ligning.            øi(c)   : Den i'te ligning multipliceres med konstanten c ≠ 0.                                                                                    åij   : Den i'te ligningen ombyttes med den j'te.                                                                                                      ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Løsningen kan aflæses i den 4. kolonne, dvs. (x1, x2, x3) = (1, 2, 1)

Vedhæftet fil:System of linear equations.png

Svar #7
03. november 2024 af ca10

Tak for svaret

Svar #8
10. november 2024 af ca10

Til Svar #3 mathon

Mit spørgsmål er, hvordan foregår udregningen i

D

Dx1

Dx2

Dx3

så man kan bestemme x1 , x2 og x3

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
10. november 2024 af mathon

\small \begin{array}{lllll}& I\textup{:}&x_1+x_2+2x_3=5\\& II\textup{:}&2x_1+x_2+x_3=5\\& III\textup{:}&x_1+2x_2+3x_3=8\\\\\\&& D=\left|\begin{matrix}1&1&2\\2&1&1\\1&2&3 \end{}\right|=1\cdot1\cdot3+1\cdot1\cdot1+2\cdot2\cdot2-1\cdot1\cdot2-2\cdot1\cdot3-1\cdot2\cdot1=2\\\\\\\\&& D_{x_{1}}=\left|\begin{matrix}5&1&2\\5&1&1\\8&2&3 \end{}\right|=5\cdot1 \cdot3+1\cdot1 \cdot8+2\cdot5 \cdot2-8\cdot1 \cdot2-5\cdot1 \cdot3-5\cdot2 \cdot1=2\\\\&& D_{x2}=\left|\begin{matrix}1&5&2\\2&5&1\\1&8&3 \end{}\right|=1\cdot5 \cdot3+5\cdot1 \cdot1+2\cdot2 \cdot8-1\cdot5 \cdot2-2\cdot5 \cdot3-1\cdot8 \cdot1=4\\\\&&D_{x3}=\left|\begin{matrix}1&1&5\\2&1&5\\1&2&8 \end{}\right|=1\cdot1 \cdot8+1\cdot5 \cdot1+5\cdot2 \cdot2-1\cdot1 \cdot5-2\cdot1 \cdot 8-1\cdot2 \cdot5=2 \end{}

Svar #10
10. november 2024 af ca10

Til Svar #9, mathon

Tak for svaret

Svar #11
15. december 2024 af ca10

Prøv a finne en metode til å løse følgende ligningssystem og finn løsningen

     x1  +  x2   +  2x3   =   5

  2x1   +  x2   +   x3    =   5

    x1  +  2x2  +  3x3    =  8

Til Svar #2 - Citér
02. november kl. 17:20 af ringstedLC

Her foreslår De følgende metode:

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

3. Løs de to ligninger med to ubekendte.

4. Indsæt løsningerne i den første ligning og bestem den sidste ubekendte.

Jeg prøver at anvende den metode på:

 I:      x1  +  x2   +  2x3   =   5

 II:   2x1   +  x2   +   x3    =   5

  III:  x1  +  2x2  +  3x3    =  8

I : x1 = 5 - x2 - 2x3 , som jeg indsætter i II og III

II:  2 • ( 5 - x2 - 2x3 ) + x2 + x3 = 5 ⇔

   10 - 2x2 - 4x3 + x2 + x3        = 5 ⇔

    -x2 - x3                                  = -5

III:  5 -x2 - 2x3  +  2x2  +  3x3    =  8

           x2 + x3                            = 3

Jeg har nu to ligninger med to ubekendte :

II:  -x2 - x3                                  = -5

III   x2 + x3                                  =  3

Trækker ligningen i III fra II

-x2 - x3                                        = -5

- x2 - x3                                               = -3

-------------

-2x2 - 2x3                                    = -8

Men der er noget galt her.

Mit spørgsmål er, hvad har gjort forkert, har jeg misforstået metoden?

På forhånd tak 

Brugbart svar (1)

Svar #12
15. december 2024 af peter lind

*Da du indsætter x1 = 5 - x2 - 2x3 i den anden ligning får du 10 - 2x2 - 4x3 + x2 + x3 = 10 -x2-x3  Det skal være 10 -x2-3x3

Svar #13
15. december 2024 af ca10

Til Svar #12 peter lind

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Svar #14
17. december 2024 af ca10

Til Svar #2 - Citér
02. november kl. 17:20 af ringstedLC

Og 

Svar #12 - Citér
15. december kl. 16:55 af peter lind

Jeg prøver metoden engang til

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

3. Løs de to ligninger med to ubekendte.

4. Indsæt løsningerne i den første ligning og bestem den sidste ubekendte.

Jeg prøver at anvende metoden på følgende:

 I:      x1  +  x2   +  2x3   =   5

 II:   2x1   +  x2   +   x3    =   5

  III:  x1  +  2x2  +  3x3    =  8

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

I:      x1  +  x2   +  2x3   =   5

        x1                         =   5 - x2 - x3  

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

II:   2x1   +  x2   +   x3    =   5

      2 • ( 5 - x2 - x3 ) + x2 + x3 = 5

        10 - 2x2 - 4x3 + x2 + x3     =   5

            -2x2 - 4x3 + x2 + x3      =  -5

                             - x2  - 3x3     =  -5

III:  x1  +  2x2  +  3x3          =  8

      5 - x2 - x3 + 2x2 + 3x3 = 8

         - x2 - x3 + 2x2 + 3x3   = 3

                           x2  +  x3   = 3

3. Løs de to ligninger med to ubekendte.

 II:    - x2  - 3x3     =  - 5

III:     x2  +  x3       =    3

-----------------------------------

         0     - 2x3    =  - 2

                  - 2x3    =  - 2

                       x3    =   1  

                     -----------------

                    - ----------------

 Indsætter x3 = 1 I ligning II

             - x2  - 3x3     =  -5 

             - x2  -  3 • 1   = - 5   

                           -x2   = - 2

                             x2   = 2

                           --------------

                           --------------

4. Indsæt løsningerne i den første ligning og bestem den sidste ubekendte.

 Indsætter:

  x2   = 2  og x3 = 1 i ligning I

2x1   +  x2   +   x3    =   5

2x1   + 2      + 1       =   5

                       2x1    =  2

                          x1   = 1

Så løsningen i opgave 1.2.4 er:

x1   =   1 

 x2   =  2

 x3    = 1  

Jeg håber jeg har gjort det rigtigt denne gang.

Tak for hjælpen

                             

Brugbart svar (1)

Svar #15
17. december 2024 af ringstedLC

Jeg har ikke gennemgået dine mellemregninger, men kontrollen:

\begin{align*} x_1+x_2+2x_3 &= 5=1+1+2\cdot3 \\ 2x_1+x_2+x_3 &= 5=2\cdot1+2+1 \\ x_1+2x_2+3x_3 &=8=1+2\cdot2+3\cdot1 \end{}

passer med facit.

Svar #16
17. december 2024 af ca10

Til Svar #15 ringstdeLC

Tak for svaret

Jeg har gennemgået mine mellemregninger to gange og foretaget kontrol af mellemregningerne og jeg har ikke fundet nogle fejl i mellemregningerne så jeg mener de burde være gennemført rigtige.

På forhånd tak

Svar #17
18. december 2024 af ca10

Rettelse

Der var en en fejl i mellemregningen.

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

I:      x1  +  x2   +  2x3   =   5

        x1                         =   5 - x2 - x3  

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

II:   2x1   +  x2   +   x3    =   5

      2 • ( 5 - x2 - x3 ) + x2 + x3 = 5

        10 - 2x2 - 4x3  + x2 + x3     =   5

            -2x2 - 4x3 + x2 + x3      =  -5

Den skal se sådan ud.         

1. Bestem et udtryk for én af de tre ubekendte ved isolation i fx den første ligning.

I:      x1  +  x2   +  2x3   =   5

        x1                         =   5 - x2 - 2x3  

2. Indsæt dét i begge de to andre ligninger, så de kun består af to ubekendte.

II:   2x1   +  x2   +   x3    =   5

      2 • ( 5 - x2 - 2x3 ) + x2 + x3  =   5

        10 - 2x2 - 4x3 + x2 + x3     =   5

             -2x2 - 4x3 + x2 + x3      =  -5

                              -x2 + x2       =  -5

Resten er rigtig.

Så løsningen er x1 = 1,   x2 = 2,  x3 = 1

Brugbart svar (1)

Svar #18
18. december 2024 af M2023

#0. Løsning i WolframAlpha:

Vedhæftet fil:ligninger.png

Svar #19
18. december 2024 af ca10

Til Svar #18 M2023

Tak for svaret

Jeg har ikke programmet Wolfram Alpha, så jeg valgte at løse opgaven i hånden.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #20
18. december 2024 af ringstedLC

Programmet er en hjemmeside:

http://Wolfram|Alpha: Computational Intelligence

Skriv et svar til: Lineær Algebra, To ligninger med to ubekendte og tre ligninger med tre ubekendte, Opgave1.2.3 og opgave 1.2.4. (Knut Sydsæter og Bernt Øksendal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.

Seneste indlæg
A: Samf A eksamen (0)
8: Østrig og ungarn (2)
V: Epibio reeksamen (0)
A: Stikprøveundersøgelse, Vejen til... (0)
SRP i Fysik og Historie (2)
Populære indlæg
A: Samf A eksamen (0)
8: Østrig og ungarn (2)
A: Rumfang af polyeder (5)
9: Analyse af Kan du høre hende syn... (8)
V: Epibio reeksamen (0)
Om Studieportalen.dk: Om Studieportalen.dk | Kontakt | Annoncering | Studiebladet | Ophavsret | Cookie- og persondatapolitik
Hjælp: Support | FAQ | Stopplagiat.nu
Se også: Studienet.dk | Studienett.no | Studienet.se