Matematik
Udledning af en mindre formel
Hej
Jeg har følgende formler:
(7.5) σx' = (σx + σy)/2 + (σx - σy)/2 · cos (2θ) + τxy · sin(2θ)
(7.6) τx'y' = - (σx - σy)/2 · sin (2θ) + τxy · cos(2θ)
Der står følgende:
[...] We eliminate θ from equation (7.5) and (7.6); this is done by first transposing (σx + σy)/2 in equation (7.5) and squaring both members of the equation, then squaring both members of equation (7.6), and finally adding member to member the two equations obtained in this fashion. We have: (σx' - (σx + σy)/2)2 + τx'y'2 = ((σx + σy)/2)2 + τxy2 [...]
Jeg har prøvet mig frem, men kan ikke ende med den formel som de giver til sidst. Nogen, der kan få det til at stemme?
Tak på forhånd.
Svar #1
13. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
Ligningerne har formen
a = c + p·cos(x) + q·sin(x)
b = - p·sin(x) + q·cos(x) , dvs
p·cos(x) + q·sin(x) = a-c
q·cos(x) - p·sin(x) = b
Det er 2 ligninger i de to ubekendte cos(x) og sin(x), så vi får
cos(x) = (p(a-c) + qb)/(p2+q2)
sin(x) = (q(a-c) - pb)/(p2+q2)
Kvadrerer man nu de to udtryk og udnytter, at sin(x)2 + cos(x)2 = 1, fås så
(p(a-c) + qb)2 + (q(a-c) -pb)2 = (p2 + q2)2 ,
der sikkert kan reduceres lidt.
Svar #2
13. april 2011 af turk89 (Slettet)
#1
Hvordan har du isoleret hhv. cos(x) og sin(x)?
Jeg kan ikke helt få dit sidstnævnte udtryk til at passe med det udtryk vi helst skal ende med. Er det fordi, det yderligere skal reduceres?
Svar #3
13. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man løser de to ligninger i cos(x) og sin(x) som de ubekendte.
Udregner man den nederste ligning i #1, får man
p2(a-c)2 + q2b2 + 2pq(a-c)b + q2(a-c)2 + p2b2 -2pq(a-c)b = (p2+q2)2 ,dvs
(p2+q2)(a-c)2 + (p2+q2)b2 = (p2+q2)2 , og dermed
(a-c)2 + b2 = p2 + q2 ,
hvilket vist er det udtryk, du skal komme frem til.
Svar #4
13. april 2011 af turk89 (Slettet)
#3
Cool. Ja, det var mere, hvordan man isolerer cos(x) og sin(x). Hvorfor er det egentlig dem du betragter som ubekendte, og ikke nogle af de andre "bogstaver" som du har kaldt dem?
Svar #5
13. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
Fordi det jo drejer sig om at eliminere cos- og sinus faktorerne. Hvis man kan finde cos(x) og sin(x) separat, er det jo bekvemt at smide dem ind Pythagoras.
Svar #6
13. april 2011 af turk89 (Slettet)
#5
Jeg tænker forgæves på, hvordan du har fundet udtrykkene cos(x) og sin(x). Du siger noget med Pythagoras, men de nævnte udtryk virker ikke bekendt.
Svar #7
13. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#5
Jeg benyttede de to ligninger i #1
p·cos(x) + q·sin(x) = a-c
q·cos(x) - p·sin(x) = b
som et ligningssystem i de to ubekendte cos(x) og sin(x) , til at finde cos(x) og sin(x) udtrykt ved de øvrige størrelser som vist i #1. har man nu cos(x) og sin(x), er det jo ligetil at danne cos(x)2 og sin(x)2 og indsætte disse udtryk i Pythagoras: cos(x)2 + sin(x)2 = 1 , hvorved der fremkommer en ligning, hvori x ikke indgår.
Svar #8
13. april 2011 af turk89 (Slettet)
#7
p·cos(x) + q·sin(x) = a-c
q·cos(x) - p·sin(x) = b , dvs.
p2·cos2(x) + q2·sin2(x) = (a-c)2
q2·cos2(x) - p2·sin2(x) = b2
Hvis cos2(x) og sin2(x) skal stå alene, dvs. uden nogen former for koefficienter foran, så er det nødvendigt med en faktorisering, er det ikke korrekt? Hvordan vil denne se ud?
Svar #9
13. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#7
Det afledte ligningssystem er ikke korrekt. Der mangler det blandede produkt:
p2·cos(x)2 + q2·sin(x)2 +2pq·cos(x)·sin(x) = (a-c)2
q2·cos(x)2 + p2·sin(x)2 -2pq·cos(x)·sin(x) = b2
Lægges de to ligninger sammen fås så
p2(cos(x)2 + sin(x)2) + q2(cos(x)2 + sin(x)2) = (a-c)2 + b2 ,
hvoraf fås det færdige udtryk.
Det er så en mere direkte fremgangsmåde end den vej, jeg havde valgt før med at isolere cos(x) og sin(x).
Svar #10
13. april 2011 af turk89 (Slettet)
#9
Ja, jeg har en tendens til at glemme det dobbelte produkt, men det giver mere mening nu. Tak! :-)
I øvrigt, så er det også denne fremgangsmåde (#7), som de nævner i bogen (#0).
Skriv et svar til: Udledning af en mindre formel
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.