at have følelser for tal?

Hvad tror du selv?

jeg synes det er underligt"! der har du mit svar!

#2

Jeg er ikke sikker på, at jeg helt forstår dit spørgsmål. Tallene og de operationer, vi foretager med tal, er jo til syvende og sidst kreationer af den menneskelige hjerne, til dels baseret på erfaringer fra det praktiske liv. Når man i højere matematik går i gang med at definere omfattende matematiske strukturer og beviser komplicerede egenskaber og sætninger omkring disse, afdækker man i virkeligheden visse facetter af den logiske struktur i den menneskelige hjerne, og det kan da virke ret spændende. I matematisk logik forsøger man systematisk at aksiomatisere et matematisk område, dvs. man præciserer sine definitioner og logiske regler og beviser så hele den matematiske struktur på denne basis. Det var således utroligt spændende og måske foruroligende, da det i 1930-erne lykkedes for den tyske matematiker Kurt Gödel at vise, at for ethvert aksiomatiseret system kan man konstruere en sand matematisk sætning, som ikke kan bevises ud fra det foreliggende aksiomsystem.

#3 Men kan man afgøre en specifik sætnings ubeviselighed?

#4

Ja, det kan man. Gödel kunne aritmetisere den logiske proces i et aksiomatiseret matematisk system, dvs. han kunne tilordne et unikt helt tal til enhver sequens af logiske trin, dvs ethvert bevis i denne matematik kunne tilordnes et unikt tal. Og ethvert tal af denne slags svarer så til et matematisk bevis i dette aksiomatiske system. Han kunne så konstruere en sand sætning, dvs. et matematisk udsagn, som han beviste er sandt, og som ikke kunne tilordnes et Gödel tal, dvs. denne sande sætning kan ikke bevises inden for det aksiomatiske system.

det forstår jeg ikke helt. Altså kan du give et konkret eksempel men kan man så afgøre om sætninger er ubeviselige.

#6

Det er for omfattende at komme med eksempel her. Ethvert bevis inden for det aksiomatiserede system kan tilordnes et heltal, et Gödel tal, og Gödel var i stand til at konstruere en sand sætning som ikke kunne tildeles et Gödel tal, og som dermed ikke kunne bevises inden for det aksiomatiske system.

Quantum: Jeg har først læst din besked nu.

Jeg vil give en kommentar på dit indlæg, fordi Andersen11  fylder dig desværre med løgn.

Kan man altid afgøre om en sætning er bevisbar? - Næppe.

Torben Andersen tager altså fejl.

Det er naturligvis sandt, at man kan konstruere nogle ubevisbare sætninger ved hjælp af Gödel-tal, men dette har intet at gøre med det oprindelige spørgsmål.

Jeg formoder, at Andersen tager fejl, fordi han ikke har et godt nok indblik i den formelle logik. 

Vi kan forestille os en maskine, der arbejder på et uløseligt problem. Da vil maskien aldrig stoppe, men dette vil vi aldrig kunne være vidner til. Lad mig skære det mere ud i pap. I Datalogien laver man det, man kalder diagonaliseringer, hvor man sætter en maskine til at evaluere en anden maskine med henblik på at afgøre dens bevisbarhed. Maskine 1 vil her stoppe på et tidspunkt, hvis maskine 2 vil fortsætte med at arbejde i det uendelige. Maskine 1 kan intet sige om sig selv, fordi hvis den arbejder i det uendelige, skal den stoppe, og skal den stoppe, skal den arbejde i det uendelige. 

Det er mit svar på dit indlæg ad interim. Hvis der er noget, som I ikke forstår, skal jeg med glæde uddybe det.

Læs bl.a. om Rice's Sætning. Her kan vi afgøre mange interessante ting heriblandt at automatisk kompleksitetsanalyse er umuligt. 

#8

Den "gode" Fourier har tilsyneladende slet ikke læst (eller forstået), hvad jeg har skrevet i de forgående indlæg. Jeg har kort beskrevet essensen i Gödels ufuldstændighedssætning om aksiomatisering af aritmetikken. Det, jeg skrev, var, at det var muligt for Gödel at fremsætte en sand matematisk sætning om det aksiomatiske system, som ikke kan bevises inden for det aksiomatiske system. Den fremsatte sætning kan bevises at være sand, men da den ikke kan tilordnes et Gödel tal, kan den ikke bevises inden for det aksiomatiske system, hvorfor det aksiomatiske system er ufuldstændigt. Interesserede kan læse mere ved at starte her http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

Du kan ikke løbe fra den her, Andersen.

Quantum spørger om man kan afgøre om sætninger er ubeviselige. Hertil svarer du eksplicit ja. - Men dette er falsk.

Jeg er udmærket godt klar over, hvad du har skrevet. Jeg sætter heller ikke spørgsmålstegn ved noget af det, men jeg er forpligtet til at kommentere din falske påstand: At man kan afgøre om sætninger er bevisbare eller ej.  

#10

Nej, du tager det jo ud af sammenhængen. Spørgsmålet er stillet i relation til #3, hvor der er omtalt en bestemt sætning, som Gödel kunne bevise var sand, og som han også bevise ikke var beviselig inden for det givne aksiomatiske system. Det fremgår jo også af den supplerende forklaring i #5, at det er det, jeg hentyder til.

Det er jo mere latterligt af dig at forsøge at gøre det til en løgnehistorie på min bekostning. Jeg har ikke forsøgt at føre matematisk bevis for noget her, men blot forsøgt at forklare Quantum, hvorfor jeg fandt et afsnit af matematikken interessant.

#11 Bordet fanger! Du kan ikke snakke dig ud af denne her.

Problemet er, at du ikke forstår Quantum's spørgsmål. Du ser bort fra det generelle tilfælde, og dermed begår du en fejl.

Quantum spørger om man kan afgøre om sætninger er ubeviselige. Hertil svarer du eksplicit ja. - Men dette er falsk. 

At du synes, at jeg er latterlig.. tja, det siger de fleste, når jeg opdager, at de tager fejl og drager falske konklusioner.

Det handler ikke om, at du synes, at jeg er latterlig. Det handler om sandhed.

At tage noget ud af sammenhæng ændrer slet ikke, at du konkluderer noget, som er fuldstændigt forkert. - Dette bliver jeg nødt til at handle på, fordi jeg mener, at det er forfærdeligt, når folk fremlægger falske udsagn!