Side 2 - Finde de fire løsninger til ligningen

Dvs. 

z^6 + 2z^3 +2=0

Pkt. 1 Find Diskriminanten (b^2-4*a*c)

D = 2^2-4*1*2 = -4 = (2*i)^2

2 løsninger findes til ligningen

(-b±√D)/2   -->    (-2+2i)/2    og    (-2-2i)/2

Pkt. 2 Find modulus (r)

r=√(-2/2)^2+(2/2)^2=√2

Pkt. 3 Find Argument (θ)

Tan(θ) = mod/hos = 1/1 = 1

Hvad gør jeg herefter kan man bruge følgende formel

ⁿ√r [cos((θ+2π*k)/n) + i*sin((θ+2π*k)/n)] 

Sætte 6 ind på n's plads og ændre k værdien k=0, k=1, k=2.....k=6

#21

De to rødder i 2.-gradsligningen er, se #17,

z³ = (√2)·(cos(3π/4) ± i·sin(3π/4)) , dvs

z³ = (√2)·(cos(3π/4) + i·sin(3π/4)) , og

z³ = (√2)·(cos(5π/4) + i·sin(5π/4)) , (idet -3π/4 ≡ 5π/4 (mod 2π))

Der er så tale om at tage de komplekse 3.-rødder af hvert af disse to komplekse tal, og det er beskrevet i #18 og #19, hvorledes det gøres.

Argumenterne for -1 ± i = (√2)·(-(√2)/2 ± i·(√2)/2) findes ved samtidig at løse

cos(θ) = -(√2)/2 og

sin(θ) = ±(√2)/2

Det er ikke tilstrækkeligt at benytte et udtryk for tan(θ). Men når både cos(θ) og sin(θ) er kendt, er θ entydigt bestemt inden for intervallet [0;2π[ .

Ok jeg kan mærke min seng kalder, så vil kigge på det imorgen:D

Endnu engang tak for hjælpen, og tak for tålmodigheden

Jo, velbekomme da, og fortsat god arbejdslyst.

Du skriver i #10, at:

hvor man så skal beregne de komplekse kvadratrødder af de to komplekse værdier for z2 . Man får jo så

z = (√2)·(cos(π/6) ± i·sin(π/6)) eller z = -(√2)·(cos(π/6) ± i·sin(π/6)) , dvs

z= (√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) eller z= -(√2)·((√3)/2 ± i·(1/2))

Hvorfor bytter du i "z= (√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) og z= -(√2)·((√3)/2 ± i·(1/2))" om på cos og sin delen, kan ikke gennemskue hvad der sker.

og hvad er grunden til at du sætter minus foran den sidste ligning? er det fordi at modulus både er positiv og negativ? 

og hvad er grunden til at man i denne opgave omskriver fra 

2·((1/2) ± i(√3)/2)

til

2·(cos(π/3) ± i·sin(π/3))

Der byttes ikke om på noget. En anden måde at skrive det på er z² = 2*e^{±iπ/3+2nπi}.  og dermed z=kvrod(2)*e^±iπ/6+inπ Her bruges at kvrod(e ^{ik +2nπi}) = e^ik/2+nπi

#25

Da cos(π/3) = (1/2) , og sin(π/3) = (√3)/2 , er

2·((1/2) ± i(√3)/2) = 2·(cos(π/3) ± i·sin(π/3))

Det er jeg med på, men i sidste ligning skrives det omvendt

z= (√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) eller z= -(√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) ,

⇓

cos(π/3) = (√3)/2     og      sin(π/3) = (1/2)

det er det jeg mener:)

#28

Det er ikke korrekt, at cos(π/3) = (√3)/2 og sin(π/3) = (1/2) som du påstår her.

Der gælder cos(π/6) = (√3)/2 og sin(π/6) = (1/2) , og sin(π/3) = (√3)/2 og cos(π/3) = (1/2) .

Bemærk, at når vi skriver et komplekst tal a + i·b på formen r·(cos(θ) + i·sin(θ)) , er det altid cos(θ) der knyttes til realdelen af det komplekse tal, og sin(θ) , der knyttes til imaginærdelen.

Jeg har svært ved at forstå

men det vil sige at 

cos(π/3) = (1/2) deles argumentet med 2 giver det  -->  cos(π/6) = (√3)/2

og

sin(π/3) = (√3)/2  deles argumentet med 2 giver det  -->  sin(π/6) = (1/2)  

#30

Ja, det gælder for dette specielle argument til sin() og cos()

cos(π/3) = (1/2) = sin(π/2 - π/3) = sin(π/6)

sin(π/3) = (√3)/2 = cos(π/2 - π/3) = cos(π/6)

π/6 svarer til 30º , og π/3 svarer til 60º . Det burde være velkendt, at sin(30º) = sin(π/6) = 1/2 .

Ahh det hjalp på forståelsen:D

Men havde et andet spørgsmål

hvad er grunden til at du sætter minus foran nedenstående ligning? er det fordi at modulus altid vil være positiv og negativ? da modulus eller r vektoren både ligger i første. og tredje. kvadrant

z= (√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) eller                        z= -(√2)·((√3)/2 ± i·(1/2))

#32

Ja, det er korrekt. Modulus er altid et ikke-negativt tal. Jeg kunne også have skrevet

z = (√2)·((√3)/2 ± i·(1/2)) eller z = (√2)·(-(√3)/2 ± i·(1/2)) ,

men jeg skrev den anden løsning med minustegnet foran, fordi hvis z er en løsning til ligningen z² = w, er -z jo også en løsning.

Til #18

Hvis z3 = r·eiθ = r·(cos(θ) + i·sin(θ)) , hvor r og θ er henholdsvis modulus og argument, er de tre 3. rødder af r·eiθ da

z = r1/3·eiθ/3 ,

z = r1/3·ei(θ/3+2π/3) , og

z = r1/3·ei(θ/3+4π/3) ,

Den første ligger i (135/3) = 45 grader, den næste ligger i (135/3+360/3) = 165 grader

og den sidste ligger i 135/3+(2*365)/3) = 288,333 grader

ikke sandt?

#34

Ikke helt, da der "kun" er 360º over de 2π radianer. Gradtallet for det sidste argument er ikke korrekt. De tre rødder ligger med 120º mellem dem.

 taste fejl hehe i tråden og på lommeregneren,

der skulle stå 2*360 istedet for 2*365 og det sidste giver så 285 grader hehe

#36

Ja, det er meget bedre sådan.