Ellipsens omkreds

Kender man til funktionen af halvcirklen (ellipsen), kan man finde dens længde (cirkelbuen af ellipsen) ved at hjælp af integrationsligning, hvorefter der ganges med 2 = omkreds.

[LINK]

# 1:  Ja, ellipsens omkreds findes v.h.a. et elliptisk integral, men det forklarer ikke, om der findes andre kurver med et ikke-simpelt  areal / omkreds forhold, som i ellipsen.

Det elliptiske integral lader sig kun integrere numerisk. Det har ingen stamfunktion.

En elipse kan betraktes som en cirkel, der trækkes længere på den ene led.

Hvis et rektangel betraktes på samme måde, altas som et kvadrat der trækkes længerer i den ene retning, vil forholdet areal/omkreds så også blive "ikke-simpelt" på tilsvarende vis?

# 3 :  Ellipsen er, mere præcis, en punktmængde, der kan frembringes som billede af en cirkel ved en ret affinitet.

Arealformlen for kvadrat eller rektangel er til stadighed  (længde • bredde)

og omkredsen  (2 • længde + 2 • bredde) , altså ingen regnemæssig korrektion for kvadratets strækken-ud.   

#4 Rektanglet er en ret afinitet af et kvadrat ligesom Elipsen er en ret afinitet af en cirkel.

Prøv at se på det fra den side.

Man kalderdet  længden af rektangler medens man ofte vil kalde det siden i et kvadrat.

Længden af kvadratets sider øges når figuren "strækkes ud", så der er en korrektion af længden og areal/omkreds forholdet er ikke konstant.

Jahh, jeg ved ikke, om et rektangel er et kvadrat, som har været underkastet en ret affinitet, men fristelsen er selvfølgelig stor. Dét, jeg mener med spørgsmålet, er, den ejendommelighed der ligger i, at arealet af ellipsen er let at finde og kan gøres eksakt, men derimod at periferien af ellipsen kun lader sig beregne v.h.a. numerisk beregning af det elliptiske integral. Cirklens periferi er selvfølgelig også et beregnet elliptisk integral, men da cirklen er et specialtilfælde af ellipsen med excentricitet, 0, bliver integralet meget simpelt og stemmer da også overens med periferiformlen for cirklen.

Er der andre eksempler på lukkede kurver, hvor arealet af punktmængden begrænset kurven kan beregnes eksakt, men hvor punktmængdens periferi ikke har et eksakt mål?