Ligning med komplekse tal

Hvis absolut værdien er 0 kan du stryge absolutværdien og også kvadreringen idet abs(z) = 0 <=> z=0 og z² = 0 <=> z = 0

Sæt e^-jw =z. Det giver andengradsligningen 1-2k₀*z  +2z² = 0

Tak for dit svar. Jeg har også prøvet det med at sætte e^-jw =z og løse den ligning.

Men hvad så når den er løst? Så står jeg jo stadig med en værdig hvor z = .... men jeg ønsker jo at finde ud af hvad w er lig med. Kan du følge mig?

Når du kender z kan du skrive z som r*e^iu. Så får du ligningen  r*e^iu = e^-jw Evt. kan du skrive w om til en realdel og en imaginærdel.

Bom bom - nu står jeg vist lidt af.

Altså w er en altid reel. Jeg forstår ikke din omskrivning af z og slet ikke hvordan jeg skulle anvende det.. :S

Hvis w er reel kan det gøres meget nemmere. så er e^-iw = cos(w)-i*sin(w). Du kan så sammenligne det med realdelen og imaginærdelen af den fundne værdi af z

Altså, jeg løser denne ligning:

1+2*k₀*z+z² = 0

Så får jeg:

z = -k₀ + sqrt(k₀² - 1)  

eller

z = -k₀ - sqrt(k₀² - 1)

Hvordan siger du jeg kan bruge det i svar #5 ?
 

Det kan jeg ikke få til at stemme med hvad der løsning ifølge #0

e^-iw = cos(w) -i*sin(w) = kvrod( k₀²-1) ±k₀

For at dette skal holde sin(w) være 0 og dermed cos(w) = ±1  = kvrod(k₀²-1) ±k₀, hvilket kun holder for nogle meget specielle værdier for k₀.og ikke i overensstemmelse med #0,

Er der ikke noget i #0, der mangler eller er forkert ?

Ifølge #0 skal man løse ligningen

1 - 2k₀·e^-jw + e^-2jw = 0 ,

der med z = e^-jw har formen

z² - 2k₀z +1 = 0 .

Denne ligning har diskriminant d = 4k₀² -4 = (2j·√(1-k₀²))² , hvorfor

z = e^-jw = k₀ ± j√(1-k₀²) .

Det ses, at |z| = 1, så vi har umiddelbart

z = cos(w) -j·sin(w) = k₀ ± j√(1-k₀²) , hvoraf

cos(w) = k₀ og -sin(w) = ±√(1-k₀²)

Nej der er ikke nogen umiddelbart fejl i #0 (andet end j^2 selvfølgelig er  -1 og ikke 1, men det havde i nok gættet).

Andersen: Tak for dit bidrag. Jeg kan godt følge din logik, men det passer heller ikke med den løsning det burde være (eller gør det, og jeg bare ikke kan se det?).

#9

Nej, der er jo tilsyneladende et fortegn galt i cos(w), eftersom din løsning antyder, at cos(w) = -k₀ .

Har du set det er cos^-1 ?

Hvad så med resten? Altså sinus delen i dit stykke ??

#11

Ja, hvis cos(w) = -k₀, gælder jo w = cos^-1(-k₀) .

Sinusdelen følger pænt med, hvis cosinusdelen er på plads.

Okay. En fortegnsfejl kan jeg altid rode med selv.

Jeg skal bare lige have det helt på plads med den sinus. Ifølge #0 skal der jo slet ikke være en sinus del??

#13

Hvis man løser ligningen, som jeg gjorde det i #8 , ender man med

cos(w) = k₀ og -sin(w) = ±√(1-k₀²) ,

så hvis cos(w) = k₀, gælder udtrykket for sin(w) jo automatisk . Derfor får man her
w = cos^-1(k₀) eller w = 2π - cos^-1(k₀).

Så har jeg lige siddet og tænkt lidt.

Umiddelbart får jeg, at

z = -k0 ± sqrt(k₀²-1)

Forskellen fra dit regnestykke er, at jeg har minus foran k₀, men jeg har ikke noget komplekst j...

Jeg ved godt jeg er lidt tung at danse med, men den er ikke sivet helt ind endnu. Du siger at z er

z = cos(w) -j·sin(w) = k0 ± j*sqrt(1-k02) , hvoraf

cos(w) = k0 og -sin(w) = ±sqrt(1-k02)

Er det så ikke w man skal isolere i hele udtrykket

cos(w) -j·sin(w) = k0 ± j*sqrt(1-k02)

og ikke kun i

cos(w) = k0 ???

Altså, hvorfor kan du "nøjes" med at isolere w i det sidste udtryk, når dette udtryk (vil jeg mene) er en del af et store udtryk??

#8 Det forudsætter at k₀ < 1, hvilket ikke er  angivet i opgaven. Desuden bliver w ikke reel, hvilket er givet i opgaven.

#16

Ja, det er korrekt, at jeg antog |k₀| < 1 , og at w er reel. Idet løsningen givet i #0 indeholdt cos^-1(-k₀) , bidrog dette til min antagelse om k₀ . Det ville måske være bedst, om trådstarter gav alle oplysninger i opgaven. Der er tilsyneladende tale om et uddrag fra en artikel.

Ja det er en ligning fra en artikel, som jeg prøver at få til at give mening :)

Andersen, du har fuldstændig ret: |k₀| < 1 og jeg antager selv at w er reel da dette er en frekvens og denne kan ikke være andet i praksis.

Så jeg mangler bare at få helt på plads hvorfor kan du "nøjes" med at isolere w i det sidste udtryk, når dette udtryk (vil jeg mene) er en del af et store udtryk?? Altså, hvorfor skal du ikke isolere w i dette udtryk:

cos(w) -j·sin(w) =  k₀ ± j√(1-k₀²)

og hvorfor kan du nøjes med

cos(w) = k₀

?

#18

Hvis der gælder

cos(w) -j·sin(w) = k₀ ± j√(1-k₀²) ,

hvor k₀ er reel med |k₀| < 1, og hvor også w er reel, aflæser man jo direkte, at

cos(w) = k₀ , og at sin(w) = ± √(1-k₀²) . Men oplysningen om sin(w) er jo indeholdt i oplysningen cos(w) = k₀ , da

sin(w) = ± √(1 - cos(w)²) ± √(1-k₀²) . Husk på, at cos(w)² + sin(w)² = 1 .

Okay. Mange tak for jeres hjælp.

Jeg er rigtig glad for at i er blevet ved selvom jeg har været lidt tung at danse med!