Differentialligninger

Jeg ved ikke hvordan du har fået gennemgået separation af variable, så det jeg skriver her er med nogen forbehold. Generelt vil jeg sige at du har ret i at man skal kontrollere om den løsning, man kommer frem til er rigtig. med mindre metoden i sig selv gør at det er bevist.

Hvis man betragter en differentialligning, hvor man er i stand til at separere de variable, opnår man en differentialligning af formen

g(y)·y' = f(x) , dvs

g(y(x))·(dy/dx) = f(x)

Vi finder nu en stamfunktion på hver side

∫ g(y(x))·(dy/dx) dx = ∫ f(x) dx + k ,

hvor k er en arbitrær konstant. Hvis dy/dx har konstant fortegn og ikke er 0, kan vi foretage substitutionen

y = y(x) , dy = y'(x) dx = (dy/dx) dx , hvorved venstre side kan omskrives til

∫ g(y) dy = ∫ f(x) dx + k , dvs. en ligning af formen

G(y) = F(x) + k ,

hvor G(y) er en stamfunktion til g(y), og F(x) er en stamfunktion til f(x) .

Hvis vi er i stand til at isolere y på en entydig måde af denne ligning, har vi dermed fundet den fuldstændige løsning til den oprindelige differentialligning. For en given differentialligning må man naturligvis eftervise, at de her gjorte antagelser kan benyttes. Endelig skal man også efterprøve, at den fundne løsning faktisk er en løsning i den oprindelige differentialligning.

 Så for differentialligningen y' = ky  , som vi tidligere har diskuteret. Der kan man godt bevise, at funktioner af formen y = c * e^-kx er de eneste løsninger til ligningen. Men man skal stadig vise, at alle funktioner af formen y = c * e^-kx er løsning til ligningen for at man har bevist, hvad den fuldstændige løsning er? 

#3

Dit spørgsmål er vist affødt af diskussionen i din anden tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1036607 . Igen, de to veje er, at man først viser, at hvis y er en løsning, så har y formen c·e^-kx , og dernæst, at enhver funktion af formen c·e^-kx også er en løsning .

 Okay, men nu når jeg tænker over det, så kan y jo ikke isoleres entydigt i beviset for y' = ky. Man får:
dy/dx = ky
<=>
Integ(1/y dy) = Integ(x dx)
=>
lnlyl = kx + c
Og dermed:
lyl = e^c * e^kx = c1 * e^kx
Men kan man så gå entydigt fra numerisk y til y? Eller jo det kan man måske. For e^kx kan aldrig være negativ. Dermed bestemmes fortegnet for y af c1 - og dermed kan c1 antage værdier fra alle reelle tal, og sætningen er bevist. 
Er dette korrekt?

#5

Ja, det er en brugbar fremgangsmåde.

 Nej vent, det er jo forkert. For den numeriske værdi af y kan jo ikke være negativ. Dermed kan y vel ikke isoleres entydigt i ligningen? 
lyl = c1 * e^kx
Ovenstående betyder jo, at c1 kun kan tilhøre R+. Og sætningen lyder jo, at c1 er en vilkårlig konstant, dvs. også kan være negativ.

Hvis y er negativ gælder -y = c₁e^kt <> y = -c₁e^kt. -c₁ kan du så blot kalde c₁ og du er tilbage. sagt med andre ord fortgnsproblemet ordnes via konstanten