Side 2 - Eksamensspørgsmål imorgen Differentialregning

#19 du retter mig jo konstant :P

#18 at x₀ ligger i et interval ]a;b[ 

Okay. Tusind tak :)
Hvad vil det så præcist sige at x går mof xo? :-)
Altså jeg spørger bare - hvis jeg lyder dum, siger I bare til :P

 Det betyder præcist hvad der står - at x nærmer sig x₀ (uendeligt)

Okay. Tusind tak :-) Jeg tror måske, jeg kan bestå nu :P
Jeg tænkte på, nu når I er her, om i kan hjælpe mig med, at bevise konstantfaktorreglen for differentialkvotienter?
Jeg forstår nemlig ikke helt, hvad det er for en regel. :-)
PS. Tusind mange tak. :-)

Kan du prøve at skrive den op? Jeg gætter på at det er noget i stil med (ax)' = a, men det ville hjælpe hvis du kunne skrive den op, som den står i din bog eller lignende.

Jeg kan forsøge at finde det, men jeg er usikker på, hvad det er for en regel, der tales om nemlig. Jeg har en hel masse ting til eksamen, hvor jeg ikke synes, jeg helt ved, hvad det er for nogle konkrete regler eller beviser, der skal bruges. Jeg har smidt det ind nedenfor. hvis du ved noget af det, ville det være en stor hjælp. :-) Ellers har jeg i hvert fald forsøgt.

Bevis at en lineær funktion er differentiabel og at differentialkvotienten er hældningskoefficienten.

Bevis sumreglen for differentialkvotienter.

Bevis at kvadratrodsfunktionen er differentiabel for alle x0 >0 og at differentialkvotienten er .
Bevis differensreglen for differentialkvotienter.

Bevis at reciprokfunktionen er differentiabel for alle x0 ≠ 0 og at differentialkvotienten er .
Bevis konstantfaktorreglen for differentialkvotienter.

Bevis at kvadratfunktionen er differentiabel for alle reelle tal x0 og at differentialkvotienten er 2x0.

Forklar sammenhængen mellem fortegnet for differentialkvotienten af en funktion og monotoniforholdene for funktionen.

Bevis at en lineær funktion er differentiabel og at differentialkvotienten er hældningskoefficienten.

Gennemgå metoden til optimering.
 

Det kan være jeg er blind, men jeg ser slet ikke ordet konstantfaktorreglen blandt de spørgsmål. Jeg foreslår at du starter et nyt spørgsmål med det ord i titlen, for der er sikkert mange herinde som er mere opdaterede på gymnasieterminologien end jeg er. :-)

f(x)= k → f'(x) = 0 Konstantfaktorreglen?

 . Okay. Det står der nu, men mange tak for din hjælp. :-)

Du har ret - men jeg er stadig ikke helt sikker på, hvad der menes. Stil et nyt spørgsmål for at være på den sikre side. Jeg vil nødig være den der giver dig forkert information, så du kvajer dig på mine vegne til eksamen. :-)

jeg tror der menes at 

k * f(x) = k * f '(x₀)

er det det du mener? 

Det tror jeg måske, det er. :-)

Aha! I så fald er det et korollar som falder ud af de to beviser

1) (k)' = 0

2) (f(x)*g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Fordi:

(k*f(x))' = k'*f(x) + k*f'(x) = 0*f(x) + k*f'(x) = k * f'(x)

Kan du forklare mig sammenhængen mellem fortegnet for differentialkvotienten af en funktion og monotoniforholdene for funktionen? :-)

Ej, tusind tak :-)

Differentialkvotienten beskriver hældningen på funktionen et givet sted. En positiv differentialkvotien betyder at funktionen er stigende, negativ betyder faldende, 0 betyder vandret. Når man analyserer en funktion for at finde ud af hvor den hhv. stiger, falder og er vandret, benytter du differentialkvotienten, ofte til at finde nulpunkter først - fordi en (kontinuert) funktion for at gå fra negativ til positiv (eller omvendt) må være vandret et sted. 

hvis f(x) er diff. i x₀ så gælder

h(x) = k * f(x) er diff. i x₀ og h '(x₀) = k * f '(x₀)

på dansk betyder det at hvis man ganger en funktion med en konstant a, ganger man også funktionens differentialkvotient med konstanten a. 

ovenstående vil vi vise:

differenskvotienten er 

(h(x)-h(x₀))/(x-x₀) = (k*f(x)-k*f(x₀))/x-x₀ = k*(f(x)-f(x₀))/x-x₀

heraf ser vi at differenskvotienten, (f(x)-f(x₀))/(x-x₀), har en grænseværdi da f(x) er differenbtiabel i x₀

grænseværdien er netop k * f'(x₀) for x ---> x₀

hermed er det vist at k * f(x) = k * f'(x₀) 

Mange mange tak begge to. Begynder virkelig at forstå det her nu :-)

Jeg har en sidste ting, hvis I har tid :-)

Bevis at en lineær funktion er differentiabel og at differentialkvotienten er hældningskoefficienten..
Altså det er noget med at: f(x)=ax+b er kontinuer da den ikke slår hverken knæk, stopper eller lign. Differentialkvotienten til en lineær funktion (f(x)=ax+b) vil altid være grafen selv da f(x)=ax+b er en ret linje. ...
Men men men, hvordan søren beviser man det lige? :-)

#39 er ikke helt korrekt. 

f(x) = ax+b er differentiabel i x₀ med differentialkvotienten 

f '(x₀) = a 

differentialkvotienten er altså grafens hældning.

Grafen for en lineær funktion er sin egen tangent, hvorfor vi kan slutte at hældningskoefficienten overalt på grafen er a