Hvor mange procent af smykket er guld

Man skal kende densiteterne af rent guld og rent sølv, og man skal også tage stilling til, om man vil finde procentdelene efter masse eller efter volumen, og man antager, at det samlede volumen af legeringen er lig med summen af bestanddelenes voluminer.

Densiteter: ρ_Au , ρ_Ag, ρ_leg

Samlet masse: m .

Samlet volumen: V = m / ρ_leg

Hvis x er volumenandelen af guldet, og m_Au er massen af guldet, og m_Ag er massen af sølvet, har vi

x·V = m_Au / ρ_Au , og (1-x)·V = m_Ag / ρ_Ag  , hvoraf

m_Au = xV·ρ_Au , og m_Ag = (1-x)V·ρ_Ag , og dermed

m = m_Au + m_Ag = xV·ρ_Au + (1-x)V·ρ_Ag = m·(xρ_Au + (1-x)ρ_Ag) / ρ_leg , eller

(xρ_Au + (1-x)ρ_Ag) / ρ_leg = 1 ,

hvoraf volumenandelen x af guld kan findes.

nu har jeg fået kigget på opgaven ud fra dine forklaringen. Jeg kan ikke helt få det til at hænge sammen. Hvor kommer (1-x) fra og x = volumeandelen af guldet. Vi kender ikke nogen andel af Au og Ag. Håber du kan hjælpe :)

                   volumenforholdet er det omvendte af afstandsforholdet til middeldensiteten

                                   stof                             densitet              afstand
                                    Au                              19,30
                                                                                                  5,17
                                                                       14,13
                                                                                                  3,63
                                    Ag                               10,50

                                V_Au / V_Ag  =  3,63 / 5,17

                                V_Au / V_total  = 3,63 / (3,63 + 5,17)

                                V_Au = (3,63 / 8,8)·(1271 g) / (14,13 g/cm³) = 37,1046 cm³

                                m_Ag = (5,17 / 8,8)·(1271 g) / (14,13 g/cm³) = 52,8459 cm³

#3

I ligningen fra #1

(xρ_Au + (1-x)ρ_Ag) / ρ_leg = 1

kendes ρ_Au = 19,30 , ρ_Ag = 10,50 og ρ_leg = 14,13 , så x kan bestemmes

x(ρ_Au - ρ_Ag) = ρ_leg - ρ_Ag , hvoraf

x = (ρ_leg - ρ_Ag) / (ρ_Au - ρ_Ag) = (14,13 - 10,50) / (19,30 - 10,50) = 3,63 / 8,80 = 41,25%

1 - x = (ρ_Au - ρ_leg) / (ρ_Au - ρ_Ag) = (19,30 - 14,13) / (19,30 - 10,50) = 5,17 / 8,80 = 58,75%

i overensstemmelse med mathon's resultat i #4

#4 sidste linje
                           m_Ag   rettes til   V_Ag

og dernæst:

   guldprocent:
                              P_Au =  (37,1046 cm³)·(19,30 g/cm³) / (12,71 g) = 56,3 %

da
        12,71 g ≡ 1%

generelt i detaljer:

                                                    volumen         densitet          afstand
                                    stof₁           V₁                 ρ₁             a₁ = ρ₁ - ρ_m        ρ₂ < ρ_m < ρ₁
                                    stof₂           V₂                 ρ₂             a₂ = ρ_m - ρ₂                      

                                                         totalmalmasse = totalmalmasse

                                                          V₁·ρ₁ + V₂·ρ₂  =    (V₁+V₂)·ρ_m

                                                    V₁·(ρ_m + a₁) + V₂·(ρ_m - a₂) = V₁·ρ_m + V₂·ρ_m

                                                    V₁·ρ_m + V₁·a₁  +  V₂·ρ_m - V₂·a₂ = V₁·ρ_m + V₂·ρ_m

                                                                     V₁·a₁  =  V₂·a₂

                                                                     V₁ / V₂  = a₂ / a₁