f(x, y) - maksimum/minimum

for et indre punkt (a,b) gælder
             
              hvis
                                 f_x = f_y = 0    og  f_xx·f_yy - f²_xy > 0

                                                  f_xx>0  har f(x,y) lokalt minimum i (a,b)

                                                  f_xx<0  har f(x,y) lokalt maksimum i (a,b)

.............

    
    f_x = ∂f/∂x         f_y = ∂f/∂y

    f_xx = ∂²f/∂x²    f_yy = ∂²f/∂y²

    f_xy = ∂f/∂x∂y
                                               

   når (x,y) ∈R²

men nu har du jo restriktionen {(x, y) ∈ R²| 0 ≤ x ≤ 2,  – 2 ≤ y ≤ 2}   som forenkler forholdene en hel del

   da
            f(x, y) = x + y² ≥ 0

Mange tak mathon, men jeg kan stadig ikke se hvordan 'restriktionen' forenkler noget som helst? Det forvirrer mig faktisk endnu mere. Hvis f var defineret på hele R² var det jo bare at følge bogen, men det kan jeg jo ikke nu når jeg har en restriktion.

f(x, y) = x + y², {(x, y) ∈ R²| 0 ≤ x ≤ 2, x – 2 ≤ y ≤ x}



Edit:
Betyder restriktionen {(x, y) ∈ R²| 0 ≤ x ≤ 2, x – 2 ≤ y ≤ x} så bare at nulpunkterne til begge partielt afledede skal ligge imellem x [0, 2] og y [-2, 2] ?

Jeg har fået samme opgave og ved heller ikke hvordan jeg skal håndtere opgaven.

Jeg har prøvet:

f_x = ∂f/∂x = 1

f_y = ∂f/∂y = 2y


f_xx = ∂²f/∂x² = 0

f_yy = ∂²f/∂y² = 2

f_xy = ∂f/∂x∂y = 0

Men ved simpelthen ikke hvad jeg skal bruge disse værdier til.

Havde forestillet mig at jeg skulle sætte f_x og f_y lig 0 og løse ligningssystemet, men det kan jeg ikke når f_x = 1.
Og:
f_y = ∂f/∂y = 2y        =>   2y = 0    =>  y = 0

Funktionen er kontinuert og definitionsmængden er en lukket mængde. Så er der et maksimum og et minimum. Så vidt jeg kan se skal du aflæse maksimum og minimum af grafen og så er det ikke nødvendig at regne på noget som helst.

Når man skal aflæse maksimalpunktet, minimalpunktet, maksimalværdien og minimalværdien af et 3d plot af en funktion af to variable, er maksimalværdien og minimalværdien så stadig bare den højeste og laveste y værdi? Og hvordan aflæser man maksimal- og minimalpunktet på et 3d plot?

Produceret v.h.a.

med egen tilføjelse af akserne,
(hvilket er meget svært, som det ses ved
stikprøvekontroller).

# 7
Akserne er ikke helt gode, sorry, og kan foranledige en uklar rumfornemmelse.
 

Denne her ser mere realistisk ud:

 

#5 hvordan kan du se at definitionsmængden er en lukket mængde og at funktionen er kontinuer?