Differentiering

f(x)=1/2x²+2x

Find funktionstilvæksten (1):

Generelt:

Δf(h)=f(x₀+h)-f(x₀)

Specifikt:

Δf(h)=1/2(x₀+h)²+2(x₀+h)-(1/2x₀²+2x₀)

        =1/2(x₀²+h²+2x₀h)+2x₀+2h-1/2x₀²-2x₀

        =1/2x₀²+1/2h²+x₀h+2x₀+2h-1/2x₀²-2x₀

        =1/2h²+x₀h+2h

Opstil differenskvotienten (2):

Generelt:

Δf(h)/h=[f(x₀+h)-f(x₀)]/h

Specifikt:

Δf(h)/h=(1/2h²+x₀h+2h)/h

            =1/2h+x₀+2

Undersøg, om der findes en grænseværdi (3):

Generelt:

[f(x₀+h)-f(x₀)]/h --> f'(x₀) for h --> 0

Specifikt:

1/2h+x₀+2 --> x₀+2 for h --> 0,

hvorfor det konkluderes, at

f'(x)=x+2.

Quod erat demonstrandum (Q.E.D.)