Løs avanceret diff.ligning

Det er jo samme differentialligning blot med andre navne y=z b = (β+κ)s og a=λ. x er den variabel, som indgår. Hvad den er i den oprindelige ligning kan jeg ikke se.

Det har jeg forstået. Jeg får løsningen til at være

, men som jeg kan forstå ud fra min lærebog, så skal løsningen være , hvor . Hvordan finder jeg den partikulære løsning i stedet for den fuldstændige løsning?

Den partikulære løsning kan du kun find hvis du har nogle bi-betingelser ... 

(dette kan være startværdier eller punkter som tangenten går igennem eller ...)

I det der skulle være løsningen indgår t slet ikke. Mangler der ikke nogt i opgaven ?

Jeg forsøger at lave opgave 2.3 i den vedhæftede fil. Jeg kan ikke se, hvad der mangler.

Du skal ikke løse differentialligningen men find hvad z er i en stabil tilstand(steady state). Det betyder at du skal finde for hvilken z er z'=0

Ja selvfølgelig. Jeg må være meget træt. Mange tak for det :-D

men jeg bliver jo spurgt om 2 ting. både at finde z*, men også at løse differentialligningen eller misforstår jeg det?

Du skulle også vise at z -> z* for t->∞. Der er så givet to tips om hvordan du gør det, hvoaf den ene er at du løser differentialligningen

Du behøver ikke nødvendigvis løse den. Men du kan gøre det. Hvis du slår op i kapitel 3, exercise 3, ser du, at der henvises til de karakteristiske rødder. Denne metode lærer I vist ikke i matematik A og B, men den er vidt brug i dynamiske modeller, som du kan vælge som valgfag på 4. semester. ;) Så det var et tip.

Da du den homogene differentialligning

så det karakteristiske polynomium (du kender vist dette fra lineær algebra..) er

der løses for

hvorfor løsningen til den homogene differentialligning er

hvor C blot er en abitrær konstant.

For at finde den inhomogene løsning sættes , hvorfor

 

hvorefter , så

 

der forkortes til

 

Læg nu denne til løsningen for den homogene ligning, så har du løsningen for den inhomogene ligning, idet

og du har da, at

som lige netop var, hvad du skulle vise. Differentialligningen siges således at være globalt asymptotisk stabil.

Men du kan også blot tegne som funktion af  . Så viser du det samme. Hvis du vil gøre dette, skal du tegne et koordinatsystem, hvor du lader  være ud af 1. aksen og  være ud af 2. aksen. Lad da grafen starte i punktet og lad den da aftage ned i for derefter at aftage ned i negative værdier for .

Bemærk i øvrigt, at en konstant betyder, at , hvilket skal være tilfældet, hvis økonomien befinder sig på en balanceret vækstbane i steady state. 

Rettelse:

Bemærk i øvrigt, at en konstant betyder, at er konstant i steady state, hvilket netop skal være tilfældet på en balanceret vækstbane. 

Bah.. Lang dag..

Endnu en rettelse: 

Det karakteristiske polynomium er naturligvis

hvorfor den fuldstændige løsning er som skrevet i indlægget. Sorry. Resten er korrekt!