Side 2 - Spørgsmål om gennemsnit

#19

Den fælles faktor b kan jo sættes uden for en parentes.

Man har et sæt af n målinger {x_i , y_i} , og man har bestemt koefficienterne i den lineære model y = ax + b, der bedst approximerer målingerne. Problemstillingen i den anden tråd var så at vise, at man kunne beregne gennemsnittet af <y> af y-målingerne ved at indsætte gennemsnittet <x> af x-målingerne i modellen . Det er dog ikke korrekt, som den anden tråd anfører, at der for hvert i gælder y_i = a·x_i + b . Koefficienterne a og b er bestemt således, at summen af kvadraterne på residuerne

S = ∑ (a·x_i + b -y_i)²

er mindst mulig, dvs. a og b er løsningerne til ligningssystemet

a·∑x_i² + b·∑x_i = ∑y_i·x_i

a·∑x_i + b·∑1 = ∑y_i

Af den sidste ligning ser man netop, at

(1/n)∑y_i = a·(1/n)∑x_i + b·(1/n)∑1 , dvs

<y> = a·<x> + b

Hvorfor gælder det ikke at  yi = a·xi + b  ?

Og hvad er residuerne? har jeg aldrig haft om 

#22

Der gælder ikke y_i = a·x_i + b , for hvert målepunkt, da målepunkterne ikke ligger matematisk på een og samme linie, men spreder sig omkring en linie (i denne model), og det er opgaven for den lineære regression at bestemme koefficienterne i den lineære model. For hvert målepunkt er forskellen, "resten", y_i - (a·x_i + b) et mål for, hvor god modellen er i datapunktet {x_i , y_i}

"Residue" er et andet ord for "rest", og lineær regression går ud på at bestemme koefficienterne a og b, så at summen af kvadraterne på resterne er mindst mulig.

Det tror jeg alligevel er over mit niveau det i #22

Men du finder altså den bedste rette linje, ligesom jeg vill gøre hvis jeglavede lineær regression i Excel?

Men hvordan bliver S = ∑ (a·xi + b -yi)2 til

 a·∑xi2 + b·∑xi = ∑yi·xi ?

#25

Ja, det er korrekt. Excel beregner summerne og løser ligningssystemet.

Funktionen, der skal findes minimum for, er

S(a,b) = ∑ (a·x_i + b -y_i)²

Det gøres ved at finde et stationært punkt for S(a,b) som funktion af a og b, dvs. ved at løse ligningssystemet

∂S/∂a = 0
∂S/∂b = 0

samtidigt.

Ligningen ∂S/∂a = 0 bliver så

a·∑x_i² + b·∑x_i = ∑y_i·x_i ,

mens ligningen ∂S/∂b = 0 giver

a·∑x_i + b·∑1 = ∑y_i , eller

a·∑x_i + b·n = ∑y_i ,

med løsningen

a = (n·∑y_i·x_i - ∑x_i · ∑y_i) / (n·∑x_i² - (∑x_i)²)

b = (∑x_i² · ∑y_i - ∑x_i · ∑y_i·x_i) / (n·∑x_i² - (∑x_i)²)

Okay tak for hjælpen, selvom jeg ikke kan følge med :)