Argumenter for at f ikke er bijektiv

Giv et eksempel på to forskellige argumenter (x1,x2,x3) der har samme billedvektor.

Eller vis, at determinanten af matricen

1  0  -1
1  1   2
0  1   3

er lig med 0.

Okay, men hvordan finder man determinanten?

#1

Giv et eksempel på to forskellige argumenter (x1,x2,x3) der har samme billedvektor.

Eller vis, at determinanten af matricen

1  0  -1
1  1   2
0  1   3

er lig med 0.

Jeg fandt determinanten til at være  2-2 = 0 hvilket så betyder at den ikke er bijektiv?

#3 Det ser korrekt nok ud. En lineær afbildning er bijektiv præcis, når den har en invers. Men hvis determinanten til en (kvadratisk) matrix er 0, siges matricen af være singulær, og den har da ingen invers. Altså kan den lineære afbildning ikke være bijektiv. 

#3

Det er korrekt, at determinanten er 0; men jeg har svært ved at se, hvordan dit mellemresultat 2-2 fremkommer.

Udvikler man efter 1. søjle, får man

det = 1·(1·3 - 2·1) -1·(0·3-1·(-1)) +0·(0·2-1·(-1)) = 3-2 -1 = 0

#5 Hvis du benytter den lille huskeregel, hvor du bevæger dig ned i første søjle (med plus som fortegn) og op igen (med minus som fortegn), ender du ganske rigtigt med 2-2=0.

Lad os betragte en matrix A, da

Vi kan da skrive determinanten som

som i dette konkrete tilfælde bliver

Laplaces udviklingssætning er i praksis kun relevant, når det handler om determinanter for matricer større end 3x3, medmindre man er heldig at have rækker eller søjler med mange 0'er. Ellers er huskereglen ofte hurtigere at benytte.