Cirklens kvadratur af Archimedes

Det er korrekt, at squaring the circle drejer sig om cirklens kvadratur. Cirklens kvadratur er det matematiske problem, som optog matematikere i flere tusind år, der går ud på at angive en metode til med passer og lineal at konstruere siden i et kvadrat, som har samme areal som en forelagt cirkel. Da cirklen med radius r har arealet πr² , drejer det sig om at konstruere et liniestykke, hvis længde er √π gange længden af et givet liniestykke, hvis længde kan betragtes som repræsenterende tallet 1. Da længderne af de liniestykker, man kan konstruere ud fra et givet liniestykke med passer og lineal, fremkommer ved simpel addition og roduddragning, er mængden af de tal, der kan konstrueres og repræsenteres på denne måde, en delmængde af mængden af de algebraiske tal. Da det i slutningen af 1800-tallet blev vist, at π, og dermed også √π, er et såkaldt transcendent tal, dvs. ikke et algebraisk tal, var det dermed endelig vist, at cirklens kvadratur ikke er mulig.

Det var således ikke kendt på Archimedes' tid. Det, Archimedes især er kendt for i denne forbindelse, er hans approksimation af π ved hjælp af polygoner. Han betragtede dels regulære polygoner, der var indskrevet i en cirkle, og dels regulære polygoner, der var omskrevet omkring en cirkel. Ved at beregne polygonernes arealer og gøre antallet i polygonerne større og større, kom han frem til to irrationale tal, a og b, hvorom han kunne sige, at a < π < b , hvor så a eller b, eller måske (a+b)/2 kunne bruges som ganske gode approksimationer til tallet π .

TAK - det tror jeg, at jeg er med på. 

Men hvad med "the squaring of polygons"? Kan ikke finde noget info om det. 

#2

Squaring of polygons drejer sig om at beregne polygonernes arealer. Ved arealberegning af en figur drejer det sig om at bestemme siden i et kvadrat, hvis areal er lig med figurens areal.

"Ved arealberegning af en figur drejer det sig om at bestemme siden i et kvadrat, hvis areal er lig med figurens areal."

What??

Skal squaring af polygoner ikke forstås som at konstruere et kvadrat lig en given retlinet figur(regulært polygone)?? Altså hvis du har en regulær polygone A, skal man konstruere et kvadrat som er lige så stort (arealmæssigt) som figur A?

#4

Jo, det er jo netop det, jeg skrev i #3.

Ahh okay - skulle bare være sikker på jeg har fået det rigtigt så :-)

Ved du tilfældigvis hvordan man gør det ... ? Har nemlig fat på det med cirklen, men ikke det andet.

#6

Man kan udføre øvelsen enten ved omkredsberegning, eller ved arealberegning.

Start med at betragte regulære 6-kanter (n = 6) , og udtryk siden i den regulære indskrevne 6-kant og siden i den regulære omskrevne 6-kant ved cirklens radius.

Antal nu, at man kender siderne i de regulære indskrevne og omskrevne n-kanter, og benyt så geometriske argumenter til at beregne siderne i de regulære indskrevne og omskrevne (2n)-kanter.

Ud fra sidernes længder i de regulære polygoner, beregner man så et udtryk for omkredsen af de regulære polygoner, p_n (den indskrevne) og P_n (den omskrevne). For hvert n vil der gælde

p_n < 2πr < P_n .

Jeg mente til det med at konstruere et kvadrat lig en given retlinet figur :-)

#8

Det kan du sikkert finde hos Euklid.

Har man givet et rektangel med siderne a og b, vil siden s i kvadratet med samme areal være mellemproprotional mellem a og b. Man afsætter liniestykkerne a og b i forlængelse af hinanden og konstruerer halvcirklen over liniestykket (a+b) . Den vinkelrette til liniestykket afsat i mødepunktet mellem a og b afskæres af halvcirklen til et liniestykke af længden s.

Er det her rigtigt forstået omkring Archimedes metode?

Han lavede en version af hans exhaustionsmetode. Først bruger han indskrevne og udskrev polygoner på cirklen til at beslutte at den hverken er mindre eller større end en given retvinklet trekant hvis ene katete er lig med cirklens radius og hvis anden katete er lig med cirklens omkreds. Da han finder ud af den hverken er mindre eller større end K må den være li med K. 

Herefter forsøgte han at beregne PI - Dog viste det sig at pi var et transcendent tal og derfor er metoden ikke gældende?