Side 2 - Eftervisning af differentialligning

#20

Ok, men hvordan kommer man så videre i #18?

#21

I #18 har man ud fra kendskabet til en løsning ved hjælp af Wronski fundet en anden uafhængig løsning. Jeg ved ikke, hvor du vil hen efter dette.

#22

Men skal man forkorte den, så den vil lyde: y''=-k • y ?

#22

*men skal man ikke forkorte den, så den vil lyde y''=-k • y?

#24

Hvis du vil eftervise, at det er en løsning til differentialligningen af 2. orden, kan du da regne den 2. afledede ud og vise, at den er lig med -ky , men det er jo let at se.

Hvordan det? Hvad bliver der af sin((√k)x) og cos((√k)x)? Er det idiotformlen du bruger eller..?

#26

Nej. Når man differentierer sin((√k)x) eller cos((√k)x) får man jo funktionen tilbage multipliceret med en faktor -(√k)² . Heraf fremgår det, at de hver er løsninger til differentialligningen.

#27

Kan du ikke vise mig helt præcis med beregninger for, hvordan du fra y2(x)= k''·sin((√k)x) + c·cos((√k)x) kommer til y''=-ky?

Tusind tak på forhånd.

#28

Det fremgår jo af forklaringen i #27.

[sin((√k)x)]' = (√k)·cos((√k)x)

[sin((√k)x)]'' = [(√k)·cos((√k)x)]' = -(√k)·(√k)·sin((√k)x) = -k·sin((√k)x)

Tilsvarende vises udtrykket for cos((√k)x) , og derfor gælder differentialligningen også for enhver linearkombination af sin((√k)x) og cos((√k)x) .

Ja, men hvordan kommer du så frem til y''=-ky?

#30

Det fremgår jo, hvis man læser første og sidste skridt i ligningen

[sin((√k)x)]'' = [(√k)·cos((√k)x)]' = -(√k)·(√k)·sin((√k)x) = -k·sin((√k)x) ,

at

sin((√k)x)]'' = -k·sin((√k)x) ,

hvorfor funktionen sin((√k)x) er en løsning i differentialligningen y'' = -ky . Tilsvarende indses det, at funktionen cos((√k)x) er en løsning til samme differentialligning.

#31

Hvordan fik du egentlig y2(x)=k''·sin((√k)x) + c·cos((√k)x) fra #18 til at blive [sin((√k)x)]' = (√k)·cos((√k)x) i #29?

???

#32

Det er heller ikke y₂ der er lig med sin((√k)x) ; men det er jo tilstrækkeligt at betragte funktionen sin((√k)x) , eftersom led med cos((√k)x) var indeholdt i den anden løsning. Og konstanterne behøver man jo ikke at slæbe rundt med, når det drejer sig om at eftervise, at den fundne funktion er en løsning til differentialligningen af 2. orden.