Eftervisning af differentialligning

se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1118974

Ja, sådan ved jeg godt, man kan løse den.

Men vil godt løse den vha. wronskideterminanten.

#2

Udtrykket for Wronskideterminanten giver her

dW/dx = 0 ,

så for to lineært uafhængige løsninger gælder der

y₁ · y₂' - y₁' · y₂ = k

hvor k er en konstant.

Det forstår jeg ikke.

Hvordan vil du komme frem til y''=-k*y?

#4

Man skal vel ikke komme frem til differentialligningen; den antages for givet. Jeg viste blot, hvad man kan få ud af at betragte ligningen for Wronskideterminanten.

Ja, men hvordan ville du så eftervise at differentialligningen har en harmonisk svingning som løsning?

For får man ikke to løsninger via Wronskideterminanten, og jeg skal jo kun have en løsning. Er det ikke rigtig?

Forstår ikke hvordan man skal eftervise ligningen via Wronskideterminanten?

#6

Den generelle løsning har formen

y = a·cos((√k)x) + b·sin((√k)x)

der er en linearkombination af de to lineært uafhængige løsninger cos((√k)x) og sin((√k)x) .

Wronskideterminanten og dens ligning giver en relation, der gælder for to lineært uafhængige løsninger; men den giver ikke direkte en metode til at finde løsningerne til differntialligningen. Har man været i stand til at finde en løsning, giver Wronski en måske nemmere måde til at finde an anden uafhængig løsning.

Her giver Wronski med de to lineært uafhængige løsninger, at

(√k) · (cos²((√k)x) + sin²((√k)x)) = k' (en konstant)

#7

Ok, men kan man så godt prøve at eftervise y''=ay, idet det er det samme som y''=-ky?

#8

Hvad vil du eftervise? Du ved, at funktionerne er løsninger til differentialligningen y'' = -ky .

#9

Men hvordan ved man det? Og skal jo vise, at den har en harmonisk svingning som løsning.

#10

Det viser man som nævnt i starten ved at gøre prøve. Har man fundet een løsning, for eksempel

y₁ = cos((√k)x) ,

ved man så, at en anden lineært uafhængig løsning y₂ er løning i differentialligningen

cos((√k)x) · y₂' + (√k)·sin((√k)x) · y₂ = k'

som er en 1.-ordens lineær differentialligning, der kan løses.

Hvordan ville du have løst den?

???

#12

Differentialligningen af 1. orden i #11 kan løses, f. eks. ved hjælp af panserformlen.

Panserformlen? 

Det har jeg aldrig hørt om. Hvad er det?

Kan du ikke lige prøve at vise, hvordan du ville have løst #11?

Håber du gider forklare mig det, for er helt blank nu.

TAK PÅ FORHÅND =)

#15

Panserformlen er et andet navn for løsningsformlen til differentialligningen

y' + p(x)·y = q(x)

#16

Ja, men hvordan ville du så have løst #11 via panserformlen?

Kan du ikke vise mig, hvordan du ville have løst den?

#17

Man finder p(x) = (√k)·tan((√k)x) og q(x) = k'/cos((√k)x) , så

P(x) = ∫ p(x) dx = -ln(|cos((√k)x)|) og dermed (fra #11)

y₂(x) = cos((√k)x) · ( ∫ k'/cos²((√k)x) dx + c)

          = cos((√k)x) · (k''·tan((√k)x) + c)

          = k''·sin((√k)x) + c·cos((√k)x)

Her kommer sin((√k)x) altså ind som en funktion lineært uafhængig af cos((√k)x) .

Ja, men hvor kommer Wronskideterminanten i billedet?

#19

Genlæs #7 og #11.