Hjælp til srp! inertimoment for cylinder

Se http://da.wikipedia.org/wiki/Inertimoment eller med flere detaljer på engelsk http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia

Er det en hul eller en solid cylinder?

solid

skal helt selv finde frem til formlen fx ved hjælp af figur

Inertimomentet for en partikel med masse m og afstand r fra rotationsaksen er I=mr^2 så man skal bare anskue cylindren som bestående af en masse små partikler med masse Δm og lægge alle bidragene sammen. Dvs.

I=∑r^2*Δm

Hvor man summer over alle disse små partikler, i grænsen hvor man lader denne inddeling blive uendelig fin, ved man fra matematikken at sådan en sum går mod et integral så

I=∫r²dm

Og massen af sådan et lille udsnit af cylindren er givet ved dm=ρ*dV=ρ*h*2π*r*dr hvor dV er voluminet af udsnittet som er dV=h*2πr*dr hvor r er afstanden fra rotationsaksen ud til partiklen, og h er højden af cylindren, ρ=m/V er massetætheden af cylindren. Man får så

I=∫r²ρh*2π*r dr   hvor man integrerer fra 0 ud til radius af cylindren

=1/2*m*r^2

hvor r nu er radius af cylindren.