Matematik

To cirkler der dækker over hinanden

12. juni 2005 af Norn (Slettet)

Nu har jeg siddet og bakset med det her problem i for lang tid :S Og noget siger mig, at jeg bare har overset et eller andet simpelt :)

http://www.upitfree.dk/upload/files/Cirkler.bmp

Hvordan finder jeg arealet på det område cirklerne dækker over hinanden?

Tak på forhånd :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. juni 2005 af 404error (Slettet)

Kald skæringerne mellem de to cirkler for S og R og betegn cirkelcentrum C_1 (højre) samt C_2 (venstre). Definér følgende punktmængder

udsn_1: Cirkeludsnittet for den store cirkel fastlagt ud fra C_1,S,R

udsn_2: Cirkeludsnittet for den lille cirkel fastlagt ud fra C_2,S,R

trek_1: Trekanten fastlagt ud fra C_1,S,R

trek_2: Trekanten fastlagt ud fra C_2,S,R.

Så er det søgte areal givet ved

areal(udsn_1)-areal(trek_1)+
areal(udsn_2)-areal(trek_2)

Overbevis dig herom ved i en skitse af problemet at skravere arealet bestemt ved øverste, hhv. nederste led i ovenstående formel. Arealerne af de førstnævnte punktmængder finder du let ved at regne på trekanter. Brug cosinusrelationer samt formlen for arealet af et cirkeludsnit når du kender radius af cirklen samt den vinkel, som udspænder udsnittet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. juni 2005 af Kim Svenningsen (Slettet)

Du kan udnytte, at vi har to trekanter med siderne 5, 5 og 4.
Arealet bliver med udnyttelse af Herons formel:
2*(7*2*2*3)^(0,5) = 2*(84)^80,5)

Svar #3
12. juni 2005 af Norn (Slettet)

404error --> punktmængde?! Den er jeg ikke med på?!

Kim Svenningsen --> Vil du uddybe det?

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. juni 2005 af 404error (Slettet)

#2's forslag kan kun anvendes til beregning af arealet af trekanterne - hvilket ikke er det, du søger, såfremt jeg har forstået dig ret. Hvis du ikke kender betegnelsen 'punktmængde', så lad os kalde det geometriske figurer i stedet. Hvad er det da, du ikke forstår?

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. juni 2005 af Kim Svenningsen (Slettet)

Når vi kender siderne i en trekant, beregner vi først omkredsen O, den er i dette tilfælde 14. Herefter finder vi den halve omkreds s = 7.
Herons formel for en trekants areal kan da udledes ved at benytte Pythagoras' læresætning i kombination med den sædvanlige formel for arealet af en trekant A = 0,5*h*g.
I kort begreb ser løsningen sådan ud:
A = (s*(s-a)*(s-b)*(s-c))^(0,5), a, b og c er naturligvis trekantens sidelængder.
Beviset kræver et par stykker papir, men er absolut gennemførligt.

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. juni 2005 af Kim Svenningsen (Slettet)

Okay, nu er jeg med. Læg et koordinatsystem ned over cirklerne, evt. med (0,0) i centrum for den store cirkel.
Ligningerne bliver da:
x^2 + y^2 = 5^2
(x-5)^2 + y^2 = 4^2
Herefter kan koordinaterne til skæringspunkterne beregnes:
(x,y) = (3,4 , 13,44^(0,5)) og
(x,y) = (3,4 , -13,44^(0,5)).
Du skal så integrere for at finde arealerne. Det er omtrent verdens værste integraler, så jeg vil forsøge en anden metode. Mere senere.

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. juni 2005 af Kim Svenningsen (Slettet)

I stedet lønner det sig at benytte formlen for et cirkelsegment:
(r^2)/2*(pi/180*v - sinv).
Nu drejer det sig blot om at bestemme de to centervinkler vha. cosinus.
cos½v1 = 3,4/5 -> v1 = 94,31
cos½v2 = 1,6/4 -> v2 = 132,84
For segment 1 gælder:
25/2*(pi/180*94,31 - sin94,31) = 8,11
For segment 2 gælder:
16/2*(pi/180*132,84 - sin132,84) = 12,68.
Samlet areal 20,79.

Svar #8
13. juni 2005 af Norn (Slettet)

Mange mange tak for den fine gennemgang! Det var virkelig lækkert!
Tak!

Skriv et svar til: To cirkler der dækker over hinanden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.