Polære koordinater

Det er her vigtigt at være opmærksom på, at r i ligning (2) er vektoren r , mens r i ligning 3 er længden |r| , idet man vel skriver r på formen

r = |r| · (cos(φ) , sin(φ))

Man skal så beregne dr/dt udtrykt ved |r(t)| og φ(t) og indsætte det i ligning (2).

Oh, ja.. Den er lige smuttet, da jeg kopierede det ind fra mit dokument:

Rettelse til ligning 2 (som ikke fik markeret vektor r med fed skrift):

∫  = ½ * μ * (dr/dt)² - U(r) = ½ * μ * (dr/dt)2 - U(r),    (Kaldes ligning (2))

Rettelse til ligning 3 (som ikke fik hævet sine 2-taller til anden potens)

∫  = ½ * μ * ((dr/dt)² + r² * (dø/dt)²) - U(r)       (Kaldes ligning (3))

***

Da vektore har en størrelse og en retning. Når du skriver:

r = |r| · (cos(φ) , sin(φ)),

så mener du (cos(φ) , sin(φ)) som værende opskrevet i matrixer, ikke? (Jeg har desværre kun haft den fornøjelse at have kort om vektorer i planen på gymnasiet, så rent notationsmæssigt mangler jeg noget indsigt i det)

Når man beregner dr/dt, så ser man selvfølgelig på ændringen i vektor r i ændringen af tiden, eller med andre ord, den hastighed hvormed vektor r ændres.

dr/dt er da ifølge omskrivningen lig (dr/dt) + r * (dø/dt).

Men jeg er stadigt ikke helt sporet ind på, hvordan jeg kan føres videre.

#2

Der er ikke tale om matricer, men om vektorer.

Med r = |r| · (cos(φ) , sin(φ)) = r(t) · (cos(φ(t)) , sin(φ(t)))   har man så

dr/dt = dr/dt · (cos(φ) , sin(φ)) + r(t) · (-sin(φ) , cos(φ)) · dφ/dt ,

og dermed

(dr/dt) • (dr/dt) = (dr/dt)² = (dr/dt)² + r(t)² · (dφ/dt)² ,

hvilket er det ønskede udtryk.

Mange tak! Jeg forsøger mig frem og ser, om det er lige så ligetil, som det ser ud.

Ved du om vinklen φ er vinklen med r og dr/dt eller om den er defineret φ≡ π - Θ, hvor det er vinklen theta, der er vinklen med r og dr/dt.

(Det er den sidste, jeg plejer at have den defineret som, men jeg ville lige høre) :)

#4

Jeg ved ikke, hvordan vinklerne er defineret. Men det spiller ikke den store rolle, for slutresultatet vil blive det samme. Jeg antog, at φ var radiusvektors retningsvinkel i et fast koordinatsystem.

#5: Også korrekt.

Mange tak for hjælpen med at gå fra ligning 2 til 3! Jeg er dog noget i tvivl om, hvordan man forklare sig frem tid, at man primært kun skal ændre i (dr/dt)² i ligning 2, for at gå til polære koordinater.

Efterfølgende opstilles ligning 4:

Det siges, at Langrangefunktionen er uafhængig af vinklen φ, men hvordan ses det? Eller menes der, at den uafhængige variabel er φ?

(∂∫  / ∂(dφ/dt)) = μ * r² * dφ/dt = L   (4),

Hvor ∫  er Lagrangegunktionen og L er impulsmomentet, som kendes

(Det er nok noget lettere at se i http://k-jerslev.dk/docs/kepler.pdf)

Jeg har læst noget omkring partielle differentialligninger, som jeg forstår som en funktion med flere uafhængige. Skyldes dette, at den uafhængige variabel er dφ/dt?

Endvidere: 

Den radielle del af Lagrangeligningen, ∂∫  / ∂r = d/dt (∂∫  / ∂(dr/dt)), som givet i ligning 5 er mig også uvist hvordan man kommer frem til, nu hvor ∂∫  / ∂(dφ/dt) er skiftet ud med den uafhængige variablen (dr/dt)..

#7

Det er jo udregnet i #3.

Jeg har ikke mulighed for her at se dokumentet, der henvises til, måske senere fra en anden maskine.

Lagrangefunktionen er en funktion af de generaliserede koordinater r og φ og deres tidsafledede dr/dt og dφ/dt . Det ses så af lign (3), at £ ikke afhænger af φ , men kun af r, r' = dr/dt og φ' = dφ/dt . man kan så opstille de to Lagrange ligninger for systemet

d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0                 (I)

d/dt (∂£/∂φ') = 0                           (II)

Da

£ = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)

har vi af (II)

d/dt (μr²·φ') = 0

dvs

r²·φ' er konstant i tiden , og r²·φ' er proportionalt med impulsmomentet og med arealhastigheden. Altså er arealhastigheden konstant med tiden.

Fortsættelse af #9:

Af

£ = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)

fås

∂£/∂r' = μ·r'

og

∂£/∂r = μr·φ'² - U'(r) ,

hvorfor, af (I)

μ·r'' - μr·φ'² + U'(r) = 0

#8

Man benytter Lagranges ligninger, som jeg også refererede til i #9.

Det er et vigtigt resultat i den klassiske mekanik, at hvis man har beskrevet systemets Lagrangefunktion £(q_i , q_i') som funktion af generaliserede koordinater q_i og impulser q_i' , er systemet fuldstændig beskrevet ved ligningerne

d/dt (∂£/∂q_i') - ∂£/∂q_i = 0

#9

Ja, jeg forstår godt udregningerne, men jeg er i tvivl om jeg skal skrive noget i stil af "Når ligning 2 skal omskrives til polære koordinater, sker der kun en ændring i (dr/dt)², hvor det restende forbliver urørt."

Spm. 1) Kommer ligningen d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0 fra en omskrivning af Euler-Langrangeligningen: ∂£/∂r = d/dt (∂£/∂r') ?

Spm. 2) Og kommer d/dt (∂£/∂φ') = 0 fra, at man differentiere ligning 4, altså  ∂£ / ∂φ´ = μ * r² * dφ/dt = L ?

Spm. 3) Hvad mener du med, at da £ = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r) (ligning 3) har vi d/dt (μr²·φ') = 0?

Jeg nåede kun at se #9, så jeg ser lige hurtigt på #10 og #11. Måske det giver mig en større indsigt i det :)

#12

Ligning (2) indeholder 2 led, og leddet med dr/dt er det eneste, der ikke allerede er skrevet i polære koordinater. Potentialet U(r) afhænger kun af afstanden r, så det er jo allerede skrevet på polær form.

Spm 1) Ligningen d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0 er Euler-Lagrange ligningen for den generaliserede koordinat r, jvf. #11 og #10.

Spm 2) Ligningen d/dt (∂£/∂φ') = 0 er Euler-Lagrange ligningen for den generaliserede koordinat φ . Da £ ikke afhænger af φ, er ∂£/∂φ = 0 .

Man beregner i begge tilfælde de partielle afledede af Lagrangefunktionen

£ = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)

hvor r, r', φ og φ' skal betragtes som uafhængige variable.

Spm 3) Af udtrykket for Lagrangefunktionen finder man

∂£/∂φ' = μr²·φ'

Da £ ikke afhænger af φ , er ∂£/∂φ = 0 , hvorfor Euler-Lagrange ligningen for φ reduceres til

d/dt (∂£/∂φ') = 0 , eller

d/dt (μr²·φ') = 0

#14,

Spm. 4: når du skriver at der er alle du uafhængige variabler r, r', φ og φ', kan man indskrive det på en eller anden måde, såsom £(r, r', φ, φ') = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)?

#9
Spm. 5: så  d/dt (μr²·φ') = 0 har vi fra at differntiere ∂£ / ∂φ´ = μ * r² * φ´, som givet af (II) er lig 0?

Spm. 6: Du skriver, at r²·φ' er konstant i tiden. Får du det fra, at da (II) er lig 0 og massen er konstant, så må r²·φ' være lig 0?

Spm. 7: Jeg kan se, at r²·φ' er proportionalt med impulsmomentet, da ∂£ / ∂φ´ = μ * r² * φ´ = L, men du skriver, at r²·φ er propertional med både impulsmomentet og arealhastigheden. Men hvor kommer arealhastigheden ind i det?

#10:

Spm. 8:
Hvordan får du ∂£/∂r' = μ·r' og ∂£/∂r = μr·φ'² - U'(r) ud af £ = ½·μ·(r'2 + r²φ'²) - U(r). Det ligner at du opløser parantesen i £ = ½·μ·(r´² + r2φ´²) - U(r) = ½·μ·r´² + ½·μ·r²φ´² - U(r), men hvordan du får de givne informationer ud af ligningen er jeg uvis om.

#11:

Spm. 9: Her mener du vel det som man kalder Euler-Lagrange-ligningen? Jeg læste godt om det på wiki lidt tidligere i mit forsøgen på at forstå det nærmere.

(det skal nævnes at ejg kun har haft fysik på B-niveau, men jeg kæmper for at holde et højt niveau i min SRP, for at sikre mig at jeg ligeledes rager ud over pensum i Mat-A :) )

#14:

Du skriver:

"Spm 1) Ligningen d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0 er Euler-Lagrange ligningen for den generaliserede koordinat r, jvf. #11 og #10.

Spm 2) Ligningen d/dt (∂£/∂φ') = 0 er Euler-Lagrange ligningen for den generaliserede koordinat φ . Da £ ikke afhænger af φ, er ∂£/∂φ = 0 ."

Kan man ligeledes kalde ligningen d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0, for Euler-Lagrangeligningen for den radielle del og ligningen d/dt (∂£/∂φ') = 0, for Euler-Lagrangeligningen for vinkeldelen? :)

#15

I #0 opstillede du Lagrange funktionen £ for 2-legemesystemet og du fik den skrevet som funktion af de polære koordinater r, φ, og deres tidsafledede r' og φ' . Disse kaldes i Euler-Lagrange terminologi for generaliserede koordinater og tilhørende generaliserede impulser. Så, ja, Lagrangefunktionen £ er da en funktion af disse generaliserede koordinater:

£(r,φ,r',φ') = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)                      (III)

Når et system er beskrevet ved en Lagrangefunktion, er dets bevægelsesligninger differentialligningerne i #11 . Disse oversættes for de pågældende koordinater til de to ligninger (Euler-Lagrange ligninger)

d/dt (∂£/∂r') - ∂£/∂r = 0                 (I)

d/dt (∂£/∂φ') - ∂£/∂φ = 0              (II)

Vi skal derfor beregne de fire partielle afledede ∂£/∂r, ∂£/∂r', ∂£/∂φ, og ∂£/∂φ' ud fra udtrykket for £ i (III). Når man beregner den partielle afledede af en funktion af flere variable med hensyn til en variabel, betragter man de øvrige variable som konstante. Man får derfor

∂£/∂r = μ·r·φ'² - U'(r)

∂£/∂r' = μ·r'

∂£/∂φ = 0

∂£/∂φ' = μ·r²·φ'

Indsættes i de to Euler-Lagrange ligninger (I) og (II), fås bevægelsesligningerne

μ·r'' - μ·r·φ'² + U'(r) = 0               (IV)

d/dt (μ·r²·φ') = 0                          (V)

Da r²·φ' er konstant, kan man eliminere φ' i (IV) og opnå en differentialligning i r(t) alene, som man kan løse.

#16

Der er en Euler-Lagrange ligning for hver af de generaliserede koordinater, se #17.

Er de generaliserede koordinater både r, r´, φ og φ´?

Eller gælder r´ og φ´ under de tilhørende generaliserede impulser, da impuls er: p = m * v, og r´ og φ´ er r og φ's tidsdifferentierede og er denmed hastighederne hvormed hhv. vinkel og længden af r ændring?

#19

Ja, det er korrekt. Jeg fik blandet det lidt. r og φ er de generaliserede koordinater, og r' og φ' er de tilhørende generaliserede impulser. Der gælder, at r' = dr/dt og φ' = dφ/dt . Derfor er

d/dt (∂£/∂r') = d/dt (μ·r') = μ·r''

hvilket blev benyttet i #17, lign (IV) .

Jeg forsøger at huske tilbage til det, jeg lærte om emnet for ca. 38 år siden, så du må bære over med, hvis terminologien smutter af og til.