Side 2 - Polære koordinater

Glem spørgsmålene i #19, da det gik op for mig, at du har beskrevet dette i #11 :)

Note: Det var jeg for langsom til at skrive ;) Men tak!

Når du i #17 beregner de 4 partielle afledede, så formoder jeg, at du differentiere med hensyn til den ene variabel, (som nu er gældende i den partielle aflede, der differentieres), som du skriver.

Men når jeg jeg differentiere fx den partielle aflede d£/dr, får jeg:

d/dt £(r) = d/dt ((1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)) 

På lommeregneren har jeg kaldt dem: d/dt (½·m·(n²+(y(x))²·ø²)-x(y)) får jeg ø²·m · y(x) · d/dt(y(x)) - d/dt(x(y)), hvilket er svarende til: φ'²·μ·r(t)·r´(t) - U´(t), hvilket undre mig, da der ikke burde være r's afledte r´(t). Men ligger det blot i, at lommeregneren insistere på at bruge produktreglen ved d/dt(r²) = 2·r·r´. Ved du hvad der kan være gået galt?

Det samme gælder med: ∂£/∂r' = μ·r', som jeg får til ∂£/∂r' = μ·r'·r, pga. produktsreglen

Det er indlysende at ∂£/∂φ = 0, når alle her er konstanter.

Og igen med ∂£/∂φ' = μ·r2·φ', som jeg får til ∂£/∂φ' = μ·r2·φ'·φ, igen pga. produktreglen.

#22, #23

Jeg forstår ikke, hvad du laver her

For at beregne den partielle afledede ∂£/∂r' af funktionen

£(r,φ,r',φ') = (1/2)μ·(r'² + r²φ'²) - U(r)

differentierer man med hensyn til r' mens man betragter de øvrige variable som konstante. Det er derfor kun leddet (1/2)μ·r'² , der bidrager til den afledede, og man får derfor

∂£/∂r' = μ·r'

Det er så dette, man tager den tidsafledede af

d/dt (∂£/∂r') = d/dt (μ·r') = μ·r''

Tilsvarende fås de øvrige afledede som vist i #17.

Jeg bruger ikke lommeregner, så jeg skal ikke udtale mig om, hvad du laver. Men simple udtryk som disse ser jeg ingen grund til at involvere en computer i.

#24 oh, det kan jeg da egentligt godt se nu. Fandt også ud af fejlen :) Men tak! Jeg forsøger at komme videre :)

#17:

Du skriver: "Da r²·φ' er konstant, kan man eliminere φ' i (IV) og opnå en differentialligning i r(t) alene, som man kan løse."

Men i (IV) lyder: μ·r'' - μ·r·φ'² + U'(r) = 0, så hvor får du r²·φ' fra? 

#26

Man kan så skrive

      r²·φ' = C

og dermed

      φ' = C / r²

der indsættes i den anden ligning.

#27 Men hvor får du fra, at φ'·r² er konstant? Tænker du ift. impulsmomentet: L = r × v · m = |r|·|v|·m·sin(θ) = m · r _|  · v og hvis tidne gøres infinitimal gælder: v = r · dθ/dt

Hvormed man vist får: L = m · r _|  · r · φ' = m · r² · φ'

og da impulsmomentet er konstant, er r² · φ' konstante ? Så konstanten du kalder C, kan egentligt være impulsmomentet?

Og mener du da:

μ·r'' - μ·r·φ'² + U'(r) = 0  ∧   φ' = C / r² 

⇔  μ·r'' - μ·r·(C / r²)² + U'(r) = 0

⇔  μ·r'' - μ·r·C² / r⁴ + U'(r) = 0

⇔  μ·r'' - μ·C² / r³ + U'(r) = 0

?

I http://k-jerslev.dk/docs/kepler.pdf kommer han frem til, at den du kalder ligning (IV):

μ·r'' - μ·r·φ'² + U'(r) = 0 ⇔  μ·r''  = - U´(r) + μ·r·φ'²  = - U´(r) + F_cf (Som han kalder ligning 6)

Hvorefter han skriver:

"der netop har formen for Newtons anden lov for en partikel i én dimension med massen , position r, der er under påvirkning af den virkelige kræft U´(r) samt den ?ktive centrifugalkraft F_cf = μ·r·φ'². Problemet med bevægelsen af de to legemer vi startede med, er nu blevet reduceret til et et-dimensionelt problem."

Vil det så sige, at ligning (IV) egentligt allerede har løst problemet med de to legemer.

Efterfølgende begynder han på samme måde at eliminere φ..

***

Er det ikke mere rigtigt hvis man:

L = μ · r² · φ'  ⇔ φ' = L / μ· r²

φ' = L / μ· r² ∧ μ·r'' - μ·r·φ'² + U'(r) = 0

⇔ μ·r'' - μ·r·(L / μ· r²)² + U'(r) = 0

⇔ μ·r'' - μ·r·L² / (μ²· r⁴⁾ + U'(r) = 0

⇔ μ·r'' - L² / (μ· r³) + U'(r) = 0

På denne måde nærmer jeg mig, hvad jeg videre har bevist, hvor U'(r) er den universelle gravitationslov:

μ·r'' - L² / (μ· r³) + U'(r) = 0   ∧   U'(r) = - G μM/r²

⇔μ·r'' - L2 /( μ· r³) + (- G μM/r²) = 0

⇔μ·r'' - L2 /( μ· r³)  = G μM/r²

og hvor μ·r'' er kendt fra Newtons 2 lov :) F = ma = m r´´

#28

Den ene bevægelsesligning, lign (V) i #17 er jo

d/dt (μ·r²·φ') = 0

der viser, at r²·φ' er konstant i tiden.

Det indsættes så i den anden bevægelsesligning, netop som du gør det. Da potentialet U(r) går som 1/r , vil U'(r) gå som 1/r² , og man har en differentialligning i r .

#29

Men hvorfor vil du så igennem hele maskineriet med Lagrangefunktionen og Euler-Lagrangeligningerne? Der er selvfølgelig flere måder at nå frem til ligningerne på. Euler-Lagrange ligningerne er en meget generel og elegant metode, idet man opstiller Lagrangefunktionen (T - U) udtrykt i passende generaliserede variable, og bevægelsesligningerne kommer helt af sig selv ved at indsætte i Euler-Lagrange ligningerne. Men det giver så kun mening, hvis man har kendskab til den underliggende teori, herunder variationsregning.

#30

Men viser: d/dt (μ·r2·φ') = 0 ikkw, at "r²·φ'"s tidsafledte er konstant? (Jeg ved ikke om jeg er noget langsom, når du ikke falder mig naturligt at kunne se, at det er indlysende at "r²·φ'" er konstant)

#31: 

Jeg vil gerne vise, hvordan man går fra The 2-body-problem til the one-body problem, hvormed man efterfølgende kan beviser Keplers 3 love igennem Newton.

Men mener du, at jeg skal kunne forklare den underliggende teori bag bl.. variationsregning, eller?

#32

Nej, man viser jo netop, at den tidafledede af μ·r²·φ' er 0, hvorfor funktionen selv, altså μ·r²·φ' ,  er konstant med tiden.

Jeg aner ikke, hvad dine forudsætninger er, og hvad det er nødvendigt at medtage. Det forekommer mig bare, at variationsregning og Euler-Lagrange ligninger ikke hører til de emner, du er mest fortrolig med. Jeg mener, at man bør forstå en teori, før man begynder at anvende den.

#33 Oh, det kan jeg da sagtens se nu :) 

Jeg har SRP om det nye verdensbillede i Renæssancen. Jeg skal komme ind på udvalgte dele af, hvordan man ud fra Newtons fysiske beskrivelse af gravitation kan nå frem til Keplers 3 empiriske love - de såkaldte Kepler-problem. 

Kepler-problemet er såvidt jeg ved et særtilfælde indenfor the 2-body problem. 

Da jeg allerede har bevist Keplers 3 love, og jeg endnu ikke er nået de 15 sider, som er minimumskravet, så ville jeg helst undgå at fylde min SRP med plader, og i stedet introducere the 2-body-problem, da jeg samtidigt har til tirsdag morgen til at blive færdig. Samtidigt kunne jeg sikre mig at ved at komme ind på bl.a. polære koordinater, så kommer jeg ind på noget der ikke er obligatorisk matA og jeg har for længest overgået det obligatoriske på fysik B.

Men jeg ved endnu ikke helt, hvordan jeg skal integrere det som en flydende del af min opgave. Det var derfor jeg ville begynde, at gå fra den meget genereliserede form til:

μ·r'' - L² /( μ· r³)  = G μM/r²

Giver det mening? :)

#34

Hvis du skriver på dansk, kalder man det tolegemeproblemet.

Det forekommer lidt bagvendt at starte med et særtilfælde og så generalisere. Hvordan har du så vist Keplers love? Keplers love er resultater, der falder ud ved at løse tolegemeproblemet. Hvordan man så løser tolegemeproblemet, afhænger af hvilke metoder og redskaber, man har til rådighed.

Jeg har startet min SRP med at skrive om tiden mellem Kopernikus og Newton (Og så kort hvorfor det ptolemæiske verdensbillede blev stærkt accepteret og så overgangen til det nye verdensbillede). Efterfølgende går jeg videre til, atdan Kepler kunne konstruere Marsbanen ud fra Brahes empiriske observationsmateriale. Så kommer jeg ind på Keplers 3 love, som blev opstillet, hvor jeg forklare dem. 

Så vil jeg forsøge at integrere to-legeme-problemet ind i min opgave, og så overgå til, hvordan Newton så efterfølgende kunne bevise Keplers 3 love på baggrund af sine egne genereliserede love samt den universelle gravitationslov. 

Spørgsmålet for mig er endnu stadigt, hvordan det falder helt naturligt ind i opgaven :)

Og jeg ved ikke om jeg vil indføre det før eller efter, men jeg skal tale om Mars' retrogradebevægelser, som jeg har forklaret ud fra hvordan i det ptolemæiske verdensbillede forsøgte at forklare dette med epicykler og yderligere med en ækvivalent til at forklare, at de retrograde bevægelse nogle gange var større end andre. Og yderligere forklare hvordan de retrograde bevægelser var en naurlig konsekvens i det Kopernikanske verdensbillede, og ved at lade plaeneterne bevæge sig i ellipse i stedet for jævne cirkler, som Kepler siger, forklare dette også hvorfor de retrograde bevægelser er større nogle gange end andre. Yderligere har Newton kunne forklare dette fænomen ud fra sin universelle gravitationslov. 

#6

Men du skrev før, at du allerede havde vist Keplers love på det sted, hvor du gik i gang med 2-legemeproblemet?

#37 Nåårh.. Ja det er også rigtigt.. Jeg har været igennem beviserne et par gange og dermed optimere beviserne.. Dermed forsøger jeg igen at optimere mit resultat ved at indføre to-legemeproblemet. 

Indtilvidere har jeg bevist de 3 love, ved at antage, at massen af planeten er så lille, at det kun er Solens masse der er den dominerende, når det kommer til hvilke krafter, der spiller ind. I stedet forsøger jeg nu at indføre den reducerede masse og den totale masse og introducere to-legemeproblemet som skal reduceres til et et-legemeproblem. 

Men jeg kæmper stadigt med, at få det integreret som en naturlig del af min opgave :)

Men tror du der er en måde, hvorpå to-legemeproblemet kan introduceres naturligt i min opgave? :)

Når man opstiller lagrangefunktionerne, så betragter man vel systemet som ket konservativt system?