Simple sandsynlighedsregning

Det er temmelig sent, og jeg har kun kort tid tilovers, så det bliver et fuldstændigt svar.

Der er tale om hypergeometrisk fordeling (stikprøveudtagning uden tilbagelægning).

Lad X betegne den stokastiske variabel, som angiver antal x-objekter i stikprøven bestående af 10 objekter (udtrukket blandt 100 objekter).

Den relevante sandsynlighed er da sandsynligheden for, at stikprøven indeholder præcis 3 x-objekter (udtrukket af en delmængde på 3 x-objekter) og 7 y-objekter (udtrukket af en delmængde på 97 y-objekter). Ergo;

P(X=3) = K(3,3)*K(97,7)/K(100,10)

hvor

K(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

er binomialkoefficienten (n og r er heltallige og ikke-negative).

Beregningen må du selv foretage.

//Singularity

Ok for svaret. Men problemet er bar at begrebet hypergeometrisk fordeling kommer først senere hen af bogen. Den opgave er relateret til emnet Permutation og Kombination. Er der ikke en anden måde at løse den på?

#2: Muligvis, men det er jo netop permutationer og kombinatorik, jeg har anvendt ovenfor;

" Den relevante sandsynlighed er da sandsynligheden for, at stikprøven indeholder præcis 3 x-objekter (udtrukket af en delmængde på 3 x-objekter) og 7 y-objekter (udtrukket af en delmængde på 97 y-objekter). "

Binomialkoefficienten K(n,r) er jo netop en kombinatorisk størrelse; den angiver på hvor mange måder, man kan arrangere en delmængde på r elementer blandt n elementer (r =

Specielt er

K(3,3) = 3!/(3!(3-3)!) = 1

idet 0! = 1 per konvention. Bemærk at sandsynligheden;

P(X=3) = K(3,3)*K(97,7)/K(100,10)

netop er de gunstige udfald: udtrækning af 3 x-objekter blandt 3 og 7 y-objekter blandt 97;

K(3,3)*K(97,7) "kombinationer"

i forhold til de mulige: udtrækning af 10 objekter blandt 100;

K(100,10) "kombinationer"

I øvrigt; binomialkoefficienten 'K(n,r)' skrives undertiden

n
r

altså som søjlevektor med indgangene n og r (udtales: "n over r"). Måske forekommer den notation dig mere bekendt?

//Singularity

Hey Singularity mange tak for hjælpen. Jeg er bekendt med binomialkofficienten, det var jo netop det kapitlet handlet, men blev kun forvirret da du brugt begrebet hypergeometrisk fordeling. Men ok, jeg havde heller ikke nok "hjerne" til at kunne se, at det blot var antallet af de gunstige udfald divideret med antal mulige ialt (lyder måske forkert men jeg har forstået det).
Men jeg havde lige et spørgsmål til, håber du (eller andre) kunne forklare mig. Det er følgende sætning jeg ikke helt forstår:

Classes of equal things. If n given things can be divided into c classes of alike things differing from class to class, then the number of permutations of these things taken all at a time is

n!/(n[1]!n[2]!...n[c]!) (1)
(n = \\sum_{j=1}^c n[j])

where n[j] is the number of things is the jth class.

Og de bruger denne sætning til at beregne en opgave som fx hvis en pose indeholder 3 gule, 2 grønne og 5 røde kugler, hvad sandsynligheden for at trække først de 2 grønne så de 3 gule og derefter de røde, ved kun at udtrække 1 kugle adgangen.

Jeg ville beregner sandsynligheden som

(2/10)(1/9)(3/8)(2/7)(1/6)=0.04% (2)

mens de beregner det som

2!3!5!/10!=0.04% (3)

Hvor resultaterne er ens. Men er (3) ikke det reciprokke værdi af (1). Og hvordan skal sætningen da forstås?? :S

#4: Tallet

n!/(n[1]!n[2]!...n[c]!) (1)

kaldes multinomialkoefficienten. Den giver antallet af mulige kombinationer (permutationer) af n objekter grupperet i c undergrupper, således at

n = \\sum_{j=1}^c n[j]

Første gruppe indeholder n[1] objekter, anden gruppe n[2] objekter og så fremdeles.

Det vil føre for vidt her at give et argument for, hvordan (1) fremkommer. Observér dog, at binomialkoefficienten blot er et specialtilfælde af multinomialkoefficienten; i dette tilfælde haves to undergrupper, indeholdende r og n-r objekter, så (1) tager formen

n!/(r!(n-r)!)

jf. K(n,r) i indlæg #1.

I eksemplet udtrækkes 10 kugler fra 3 undergrupper (3 gule, 2 grønne, 5 røde). En streng svarende til en udtrækning er eksempelvis

R-Gu-R-Gr-R-R-Gr-Gu-R-Gu

Bemærk, at der er i alt 10! ordnede strenge.

Vi søger specielt sandsynligheden for hændelsen;

A: Der udtrækkes 2 grønne kugler efterfulgt af 3 gule og derpå de resterende 5 røde kugler, dvs. en streng af formen;

Gr-Gr-Gu-Gu-Gu-R-R-R-R-R

som kan realiseres på

2!*3!*5!

måder. Dermed fås

P(A) = 2!*3!*5!/10!

hvilket er nøjagtig det samme som at multiplicere sandsynlighederne inden hver udtrækning af en kugle;

P(A) =
(2/10)(1/9)(3/8)(2/7)(1/6) =
(2*1*3*2*1)/(10*9*8*7*6) =
2!*3!*5!/(10*9*8*7*6*5!) =
2!*3!*5!/10!

Bemærk, at til forskel fra det første eksempel er der her tale om bunden rækkefølge; det er ikke underordnet, i hvilken rækkefølge kuglerne udtages.

//Singularity