Tough differentialligninger

Lad M være det samlede antal mus, og lad N(t) være antallet af inficerede mus. Så siger påstanden, at

dN/dt = k·N(t)·(M - N(t))

Løs differentialligningen med begyndelsesbetingelsen N(0) = 5 . Ligningen kaldes den logistiske ligning.

Den søgte tid t₀ findes ved at løse ligningen

N(t₀) = M/2

Hvordan vil du/kan jeg bestemme proportionalitetskonstanten ud fra startbetingelsen?

#2

Den kan ikke fastlægges ud fra de givne oplysninger alene.

#4

Det er alt, hvad der står i min opgavesæt, jeg har fået af min lærer. Jeg tænker på, hvad man kan svare på, hvis det ikke kan løses pga. manglede oplysninger og hvorfor.

#4

Sætter vi x(t) = N(t) / M , har vi, at x(t) er løsning til differentialligingen

dx/dt = (kM)·x·(1 - x) ,

der har løsningen

x(t) = 1 / (1 + (1/x₀ -1)e^-kMt) ,

hvor x(0) = x₀ .

I opgaven er x₀ = 5/500 = 1/100 , og vi skal løse ligningen

x(t) = 1/2 , dvs

1 / (1 + (1/x₀ -1)e^-kMt) = 1/2 , eller

1 + (1/x₀ -1)e^-kMt = 2 , eller

(1/x₀ -1)e^-kMt = 1 , eller

e^-kMt = x₀ / (1 - x₀) = 1 / 99 , og dermed

kMt = ln(99) , og altså

t = ln(99) / (kM) = (1/k) · ln(99) / 500 .

Det stillede spørgsmål kan ikke besvares nærmere end dette uden kendskab til værdien af k.