Yderdiameter - 3 rør inde i hinanden

Det drejer sig om at indskrive tre cirkler med samme radius inde i den store cirkel, hvis diameter er lig med 10cm, således at de tre cirkler lige netop rører hinanden og også rører den store cirkel. Lav en tegning og få overblik.

Ydre diarmeteren er den dirameter et rør har fra den ene yder side til den anden. Altså vil den indre dirameter være mindere, da der er et stykke fra den ydre dirameter ind til den indre. Se vedlagte figur: 

Men altså har du et rør med en indre diermeter på 10cm, der skal være 3 inden i denne. Dvs at de hver kan være 10cm/3=10/3cm. Altså har rørene en dirameter på 10/3cm.   

#2

Det er ikke korrekt. De tre indre cirkler skal alle røre hinanden og også røre den ydre cirkel, se #1.

Lad det store rørs indvendige diameter være D, og lad de små rørs udvendige diameter være d. De små cirklers centre er vinkelspidser i en ligesidet trekant, hvis sidelængde er d. Centrum for denne trekants omskrevne cirkel er også centrum for den store cirkel. Højden i den ligesidede trekant er (som også er median i denne trekant), har længden

h = d·(√3)/2,

hvorfor radius i den ligesidede trekants omskrevne cirkel er

r = (2/3)·h = d·(√3)/3

Radius i den store cirkel, der omskriver de tre små cirkler, er derfor

R = r + d/2 , hvorfor den store cirkels diameter er

D = 2R = 2r + d = d·(2·(√3)/3 + 1) = d·(2+√3)/√3 .

Da D = 10cm, finder vi derfor

d = D·√3 / ((2+√3) = 4,641cm

Tak for hjælpen begge to, Andersen dit svar må være rigtigt, da facitlisten viser det samme resultat som dit. :)

Hej Anders, 

Jeg har kigget på din beregning og kan nogenlunde følge dig i dem. Men jeg kan sempelthen ikke forstå hvor √3 kommer af.

Jeg håber du kan give mig en forklaring