Rumgeometri

Du indsætter planen koordinater i linjens forskrift og bestemmer værdien for parameteren t
Denne værdi for t indsætter du herefter i planens parameterfremstilling og bestemmer derved
koordinaterne til skæringspunktet

Planens koordinater:

x = -3 + 2t
y = -1 + t
z = 3 - 2t

Linjen a:

2x - y + 3z = 2
2(-3+2t) - (-1+t) + 3(3-2t) = 2 
-6 + 4t +1 - t + 9 -6t = 2
-3t = -2
t = 2/3

Linjen a skærer således planen, når t = 2/3 og koordinaterne kan bestemmes som:

x = -3 + 2t = -3 + 2·2/3 = 
y = -1 + t = -1 + 2/3 = 
z = 3 - 2t = 3 - 2·2/3 =

Tak for hjælpen :)

vil det sige at skæringspunktet mellem m og a er

x = -5/3 = -1,66

y = -1/3 = -0,33

z = 5/3 = 1,66

Nemlig, koordinaterne for skæringspunktet P=(-5/3 , -1/3 , 5/3)

det vil nok være bedst, hvis du vælger at bruge brøkerne som facit
(det er jo det eksakte resultat)

Ja okay, tusind tak for hjælpen. Kan du måske hjælpe med en anden opgave også? :-)

#! har konsekvent byttet om på begreberne planen koordinater i linjens forskrift

I opgaven er oplyst           m:    x=-3+2t  y=-1+t   z=3-2t    hvilket er parameterfremstillingen for linien

    og       a:    2x-y+3z = 2               som er planens forskrift

Selv om der i #1s tekst er byttet rundt på begreberne fører indsættelserne til den rigtige løsning

Ja, da :-)

#5

Ja selvfølgelig, den "fangede" jeg ikke lige i farten...
Der skal selvfølgelig også være to parametere, hvis det var planens parameterfremstilling.

Så det vi har lavet er forkert?? eller hvad?

Hvordan skal den så laves?

Nej, jeg har ikke lavet den "ret meget" forkert :-)  resultatet er korrekt

jeg er i skyndingen kommet til at bytte rundt på planen og linjen i min bevisthed

Det er linjen, der er givet ved en parameterfremstilling
Planen er givet på normalform
 

det burde have været således (beklager)

Du indsætter linjens koordinater i planens forskrift og bestemmer værdien for parameteren t
Denne værdi for t indsætter du herefter i linjens parameterfremstilling og bestemmer derved
koordinaterne til skæringspunktet

Linjen m:

x = -3 + 2t
y = -1 + t
z = 3 - 2t

Indsat i planens ligning:

2x - y + 3z = 2
2(-3+2t) - (-1+t) + 3(3-2t) = 2 
-6 + 4t +1 - t + 9 -6t = 2
-3t = -2
t = 2/3

Linjen a skærer således planen, når t = 2/3 og koordinaterne kan bestemmes som:

x = -3 + 2t = -3 + 2·2/3 = 
y = -1 + t = -1 + 2/3 = 
z = 3 - 2t = 3 - 2·2/3 =

Ja okay, begge dele giver lige meget mening for mig ;)

Den næste opgave lyder således:

Angiv en ligning for den plan, der indeholder linjerne m1 og m2, når

m1: (x y z) = (1, 0, -2) + t (0, -2, 3)

m2: (x y z) = (1, -2, 1) + t (0, 1, 0)

Jeg ved det er noget med retningsvektor og normalvektor, mere ved jeg ikke :)

Linjerne er givet som en parameterfremstilling med retningsvektorerne

r₁ = (0,-2,3)

r₂ = (0,1,0)

Som normalvektor for planen α, der indeholder begge linjer, kan du bruge krydsproduktet af retningsvektorerne:

n_α = r₁×r₂

Som det kendte punkt, bruger du ét af punkterne (1,0,-2) eller (1,-2,1) fra linjernes parameterfremstillinger

Indsæt koordinaterne fra normalvektoren (a,b,c) og det ene punkts koordinater (x₀,y₀,z₀) i:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0     (planens ligning)

og reducér udtrykket

Hvis jeg bruger crossP på cas for at finde normalvektoren bliver det [-3, 0, 0] Er det rigtigt?

Hvis jeg så bruger det kendte punkt (1, 0, -2). og indsætter begge dele bliver det:

-3(x-1) + 0(y-0) + 0(z-(-2))= 0

Er det rigtigt?

Kan det passe at det så bliver

-3x+3=0

#10

Man bemærker, at de linier begge indeholder et punkt med x = 1 , og at deres retningsvektorer har komponenten 0 i x-retningen. Alle x-koordinaterne for punkter på de to linier er derfor lig med 1. Da de to liniers retningsvektorer ikke er parallelle, må planen, der indeholder begge linier, derfor have ligningen

                                           x = 1   .