anden orden diff

find det løsningerne til det karakteriske polynomium x²+x-2 =0 samt gæt på en løsning af formen k*e^-x. Er r1 og r2 rødder i polynomiet er c₁*e^r1x + c₂*e^r2x løsninger til den homogene ligning

Jeg har fundet løsning til homogene ligning men hvad med ikke homogene? 

Løs først den homogene del, ved at opstille karakterligningen:

   λ² + λ - 2 = 0

der har løsningerne λ=1 ∨ λ=-2, så løsningen til den homogene ligning er givet ved

  y(x) = c₁e^x + c₂e^-2x

Den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning kan findes som løsningsmængden til den homogene differentialligning + en partikulær løsning.

For at finde en partikulær løsning udnyttes at differentialligningen 

    y''(x) + a₁y'(x) + a₂y(x) = p(x)

hvor p(x) = βe^αx,  har en partikulær løsning af formen 

   y₀(x) = ke^αx                (bemærk at α ikke må være en rod i karakterligningen!)

Ved indsættelse af ke^-x i differentialligningen:

   ke^-x - ke^-x - 2ke^-x = e^-x

hvoraf vi har k=-1/2, så y₀(x) = -1/2 e^-x

Den fuldstændige løsning er derfor givet ved

    y(x) = c₁e^x + c₂e^-2x - 1/2 e^-x

En alternativ fremgangsmåde, som ikke strider mod de ovenstående udmærkede forklaringer, er følgende:

Differentieres differentialligningen

y'' + y' -2y = e^-x , fås

y''' + y'' -2y' = -e^-x .

Adderes de to ligninger fås

y''' + 2y'' -y' -2y = 0 , dvs

y''' -y' = -2·(y'' -y)

der har formen

u' = -2u (med u = y'' - y) , hvorfor

y'' - y = -c₁·e^-2x

Indsættes dette i den oprindelige differentialligning fås

y' - y = e^-x + c₁·e^-2x

Benytter vi løsningsformlen for den lineære differentialligning af 1. orden ("panserformlen"), fås da

y = e^x · [ ∫ e^-x·(e^-x + c₁·e^-2x) dx + c₂ ]

   = -(1/2)·e^-x + c₁·e^-2x + c₂·e^x

som den fuldstændige løsning.

tak