Matematik

ligning

20. august 2005 af rizza (Slettet)

Vis at f(x) = 1/(x^2-1) er løsning til y'+2xy^2=0, i intervallet ]-1;1[

Jeg har gjort følgende:
y'= 1/(x^2-1)
y^2= 1/(x^2-1)^2

Så har jeg sat ind:
1/(x^2-1) + 2x(1/(x^2-1)^2)=0 <=>
2x= -(x^2-1)^2/(x^2-1) <=>
2x= -x^2-1 <=>
x= (x^2-1)/2

Ja, hvad skal jeg så?? (hvis det altså er rigtigt)

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. august 2005 af Epsilon (Slettet)

Du har helt glemt at differentiere f; du indsætter f i stedet for f'. Så skal det jo gå galt ;-)

//Singularity

Svar #2
20. august 2005 af rizza (Slettet)

f'(x)= 2x/(x^2-1)^2

2x/(x^2-1)^2 + 2x(1/(x^2-1)^2)=0 <=>
2x= -(x^2-1)^2/2x(x^2-1) <=>
2x= -x^2-1 <=>
2x= (x^2-1)/2x

Hvad nu??

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Se lige på differentiationen igen. Differentialkvotienten af

f(x) = 1/(x^2 - 1)

er ikke 2x/(x^2 - 1)^2. Den lille fejl, som du begår, betyder i dette tilfælde en hel del :-)

//Singularity

Svar #4
20. august 2005 af rizza (Slettet)

-2x/(x^2 - 1)^2. eller??

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Lige præcis. Det fortegn gør en verden til forskel.

//Singularity

Svar #6
21. august 2005 af rizza (Slettet)

Så får jeg at:
2x = (x^2-1)/2x

Og hvad skal jeg så??
Kan ikke rigtig se at det giver noget

Svar #7
21. august 2005 af rizza (Slettet)

HAr fundet ud af det ;o)

Svar #8
21. august 2005 af rizza (Slettet)

Nej, vent lidt:
Jeg får at
2x/(x^2-1)^2 - 2x/(x^2-1)^2 = 0 <=>
0=0

Har jeg vist at den er løsning i intervallet ]-1;1[
Og er f løsning i intervallet
]1;5[ og ]-1;5[

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#8: Det første er korrekt. Men undlad at skrive

" <=> 0 = 0 "

Det er meningsforstyrrende. Det skulle vist være rimelig klart, at

-2x/(x^2 - 1)^2 + 2x/(x^2 - 1)^2 = 0

for ethvert x E ]-1;1[, så f er en løsning til differentialligningen y' + 2xy^2 = 0 i intervallet ]-1;1[.

Hvad siger du selv til de to tillægsspørgsmål i indlæg #8? Begrund svarene.

//Singularity

Svar #10
21. august 2005 af rizza (Slettet)

x skal vel bare være større end 1, ikke??

Svar #11
21. august 2005 af rizza (Slettet)

Jeg forstår bare ikke for hvis x f.eks. er 3, så vil
2x/(x^2-1)^2 - 2x/(x^2-1)^2 = 0
jo give 0, mens f 1/(x^2-1) vil give 1/8

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Jo, men hvad svarer du konkret til

" Og er f løsning i intervallet
]1;5[ og ]-1;5[ "

og hvorfor?

#11: Hvad er det nærmere bestemt, du ikke forstår derved? Differentialligningen

y' + 2xy^2 = 0

og funktionen y = f(x) = 1/(x^2 - 1) er ikke udtryk for det samme.

//Singularity

Svar #13
21. august 2005 af rizza (Slettet)

Altså jeg forstår det bare ikke rigtigt. Det er vel løsningen for et hvilket som helst x, altså for xE ]-uendelig;uendelig[

Brugbart svar (0)

Svar #14
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: Nej. Hvad med punkterne x = +/- 1?

//Singularity

Svar #15
21. august 2005 af rizza (Slettet)

Ah, så alle Reelle tal, undtagen 1/-1 kan bruges, hvorfor ]1;-5[ kan bruges, men ikke]-1;5[
korrekt??

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Ja, du mener ]1;5[ (ikke ]1;-5[). Ved en løsning til differentialligningen

y' + 2xy^2 = 0

forstår vi en differentiabel funktion, som opfylder differentialligningen, og hvis integralkurve (løsningskurve) er sammenhængende.

Af den grund er f ikke en løsning i intervallet ]-1;5[ (f er ikke engang defineret i x = 1).

De maksimale løsningsintervaller må således være

]-infty;-1[, ]-1;1[ og ]1;infty[

Kan du se det?

//Singularity

Svar #17
21. august 2005 af rizza (Slettet)

jeps, jeg er helt med. Tusnede tak

Skriv et svar til: ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.