Analytisk geometri i 3D

   radius
                  r er punktafstanden mellem centrum C og P(1,-1,4).

Man kvadratkompletterer leddene med x, y og z hver for sig, så ligningen bliver skrevet på formen

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² .

Oplysningen om punktet P skal så ikke benyttes til bestemmelse af kuglens centrum og radius.

Er det muligt at kvadratkompletterer på ti89 ? 

                    (x²+4x) + (y²-6y) + (z²-8z) + 4 = 0

                    (x+2)² - 4 + (y-3)² - 9 + (z-4)² - 16 = -4

                    (x-(-2))² + (y-3)² + (z-4)² = 5²

#3

Det er muligt at gøre det i hovedet.

Kuglen med ligningen

x² + y² + z² + dx + ey + fz + g = 0

har jo centrum i (-d/2 , -e/2 , -f/2) , og man får så

(x +d/2)² + (y +e/2)² + (z +f/2)² = (d/2)² + (e/2)² + (f/2)² - g

Er 
 

x2 + y2 + z2 + dx + ey + fz + g = 0

og 

(x +d/2)2 + (y +e/2)2 + (z +f/2)2 = (d/2)2 + (e/2)2 + (f/2)2 - g

generelle formler? Eller blot nogen der passer i dette tilfælde? 

Altså kan jeg godt skrive dem ned i mine noter og tage dem frem til eksamen, hvis jeg støder på en opgavetype af samme art?

#6

Det er en helt generel formel, der vises ved simpel udregning.

men hvis (-d/2 , -e/2 , -f/2) aller har minus i deres fortegn, hvorfor bliver de så positive her:

(x +d/2)2 + (y +e/2)2 + (z +f/2)2 = (d/2)2 + (e/2)2 + (f/2)2 - g

#8

Når kuglens ligning har formen

      (x +d/2)² + (y +e/2)² + (z +f/2)² = (d/2)² + (e/2)² + (f/2)² - g ,

aflæser man jo, at centrum har koordinatsættet (-d/2 , -e/2 , -f/2) .

Kuglen med centrum i (a,b,c) og med radius r har ligningen

      (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² .

Når kuglens ligning foreligger på formen

      x² + y² + z² + dx + ey + fz + g = 0

drejer det sig så om at skrive den på samme form.

for at undgå at skrive     /2 mange gange
kunne man vælge formen

                             x² + y² + z² + 2dx + 2ey + 2fz + g = 0
    og få
                              C = (-d,-e,-f)    og   r = √(d² + e² + f² - g)

dvs
                                 x² + y² + z² + 2·2·x + 2·(-3)·y + 2·(-4)·z + 4 = 0

    og få

                              C = (-2,3,4)    og   r = √(4 + 9 + 16 - 4) = 5

Er du gymnasielærer mathon ? det der er jo fuldkommen som at få hjælp fra en matematiker. 

Hvor får du de markerede tal fra?

x2 + y2 + z2 + 2·2·x + 2·(-3)·y + 2·(-4)·z + 4 = 0

#12

De fremkommer jo ved at dividere 4 ,-6 og -8 med 2 , når man skiller en faktor 2 ud fra de tre led med x, y og z.

x² +y² +z² +4x -6y -8z +4 = x² +y² +z² +2·2x -2·3y -2·4z +4

                                       = x² +y² +z² +2·2·x +2·(-3)·y +2·(-4)·z +4

Vil det sige at x2 +y2 +z2 +4x -6y -8z +4 = x2 +y2 +z2 +2·2x -2·3y -2·4z +4er kuglens ligning nu?

#14

Nej, det er jo blot en omskrivning af et udtryk. Kuglens ligning er

x² +y² +z² +4x -6y -8z +4 = 0 , eller

x² +y² +z² +2·2·x +2·(-3)·y +2·(-4)·z +4 = 0 , eller

(x-(-2))² + (y-3)² + (z-4)² = 5²

#14

Genlæs #2

enten                                                                                  eller

     metode 1:                                                                           metode 2:

                   kvadratkomplettering                                                            omskrivning
      af                                                                                           af 
                   x² + y² + z²+ kx + ly + mz + n = 0                                        x² + y² + z²+ kx + ly + mz + n = 0
på formen                                                                          på formen
                   (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²                                                 x² + y² + z²+ 2dx + 2ey + 2fz + g = 0

hvilke tal er a b og c i min oprindelige ligning?

I øvrigt forstår jeg ikke hvordan r = √(4 + 9 + 16 - 4) = 5

giver positive tal? 

d = 2²

e = -3²

f = -4²

g = - 4

og i formlen 

x2 + y2 + z2 + 2·2·x + 2·(-3)·y + 2·(-4)·z + 4 = 0

er det lidt svært at få de markerede tal hvis ikke man dividerer med 2 ..

Vær sød at forklare tak

x² + y² + z²+ 2dx + 2ey + 2fz + g = 0 Er formlen der beskrives i #17.

Her står der ikke noget med at dividere med 2, derfor forstår jeg ikke hvordan du kan få tallene 

x2 + y2 + z2 + 2·2·x + 2·(-3)·y + 2·(-4)·z + 4 = 0

Vil i ikke lige forsøge at forklare mig det? Har næsten fanget den, men nu svarer i ikke længere ..