Matematik
hjælp til et mat A-projekt (eksamensforberedelse)
I forbindelse med et mat A projekt angående parameterkurve har vi arbejdet med 3. ordens Beziér-kurve med 4 kontrolpunkter; efter udledning får man følgende funktionsforskrift:
??B(t)=(1-t)3*P1 + 3t(1-t)2*P2 + 3t2(1-t)*P3 + t3*P4 hvor P1, P2, P3 og P4 angiver de fire kontrolpunkters koordinatsæt
Formål med projektet er at designe et vægbord, hvor banekurven skal skitsere den krumme side.
I dette Projekt har vi valgt at arbejde med en mere empirisk tilgang, hvor vi vha. adskillige undersøgelser har fundet frem til nogen simple relation mellem kontrolpunkters placeringer og banekurvens form:
1) Hvis y-koordinat for P1 og P4 er det samme, og for P2 og P3 er det samme, vil banekurvens ekstremumspunkt i y-retningen opnås ved t=0,5.
2) Hvis kontrolpunkter P2 og P3 ligger på eller inden for de to lodrette linjer, der går igennem P1 og P4, vil linjestykket mellem P1 og P4 udgøre den maksimale længde for vægbordet. (forudsat at punkt 1 er gældende; dvs. P1 og P4, samt P2 og P3 har samme y-koordinat )
3) Banekurven vil være asymmetrisk, hvis P2 og P3 mht. deres 1. koordinater har forskellige afstande til den lodrette linje, der går igennem P1 hhv. P4.
Problemet er nu, at min mat-lærer vil have os til at forklare hvorfor disse forhold er gældende - teoretisk, hvis jeg kommer op til mat-eksamen og netop har trukket dette projekt.
Jeg håber på, at der er nogle eksperter herinde, der kan hjælpe mig med det .)
Svar #1
14. maj 2012 af MSN6079 (Slettet)
Med "teoretisk" mener han, at jeg ud fra teorien og den udledte formel skal forklare de fundne relationer. Punkt 1 kan jeg godt finde ud af, men jeg har bare lidt problem med de andre to punkter
Svar #3
15. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
Du skal jo udnytte parameterfremstillingen for den krumme side:
x(t) = (1-t)3·x1 + 3t(1-t)2·x2 + 3t2(1-t)·x3 + t3·x4 , 0 ≤ t ≤ 1 , og
y(t) = (1-t)3·y1 + 3t(1-t)2·y2 + 3t2(1-t)·y3 + t3·y4 , 0 ≤ t ≤ 1 .
Hvis y1 = y4, og y2 = y3, har man så
y(t) = (1-t)3·y1 + 3t(1-t)2·y2 + 3t2(1-t)·y2 + t3·y1
= ((1-t)3 + t3)·y1 + (3t(1-t)2 + 3t2(1-t))·y2
= ((1-t)3 + t3)·y1 + 3t·(1-t)·y2 ,
og man ser, at
y'(t) = (3t2 - 3(1-t)2)·y1 + 3·(1-2t)·y2 = 3·(2t-1)·y1 + 3·(1-2t)·y2 = 3·(2t-1)·(y1 - y2) = 0 ⇒ t = 1/2 ∨y1 = y2 , hvilket viser 1)
2) Her forudsættes det yderligere, at x1 < x2 < x4 og x1 < x3 < x4 . Prøv at formulere, hvad du yderligere mener i 2)
Svar #4
15. maj 2012 af MSN6079 (Slettet)
Altså projektet går ud på, at man skal designe et vægbord, som opfylder visse krav angående den maksimale bredde og længde. Vi kan godt finde ud af teoretisk at forklare punkt 1; næsten det samme som du har skrevet.
Det er meningen at vægbordet skulle have en maksimale længde på 95, og så har vi lavet en række undersøgelse (punkt 2) og se om, i hvilke tilfælde den ret side af vægbordet - dvs. linjestykket fra P1 til P4 - vil udgøre den maksimale længde; på den måde kan vi gøre det lettere at udregne den maksimale længde. De undersøgelser, som vi har lavet, er ret simple. Vi tager udgangspunkt i betingelserne fra punkt 1, og derefter ændre på P2 og P3's x-koordinater. Herved er der tre tilfælde:
1. Når P2 og P3 ligger inden for de to lodrette linjer, som går igennem P1 og P4 - dvs. hvis x-koordiater for P1 og P4 fx. er hhv. 1 og 8, så har P2 og P3 x-koordinater på hhv. 3 og 6 osv..
2. Når x-koordinat for P1 er det samme som P2, og P3 er samme som P4
3. Når P2 og P3 ligger uden for de to lodrette linjer, som går igennem P1 og P4 - dvs. hvis x-koordiater for P1 og P4 fx. er hhv. 2 og 7, så har P2 og P3 x-koordinater på hhv. 3 og 8 osv..
Den simple undersøgelse har vist, at linjestykket fra P1 til P4 altid vil udgøre den maksimale længde for vægbordet i det første og det andet tilfælde.
P.S. hvis det er svært for dig at forstå, hvad det egentlig er, vi har gjort, kan jeg sagtens sende dig vores rapport :)
Tak på forhånd
Svar #5
18. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
1. Det følger da ikke, at hvis P1 og P4 har x-koordinater hhv. 1 og 8, så har P2 og P3 x-koordinater hhv 3 og 6; det kan kun være ment som et eksempel, hvor P2 og P3 har x-koordinater mellem x-koordinaterne for P1 og P4.
Bestem udtrykket for x'(t) og se på løsninger til ligningen x'(t) = 0 .
Skriv et svar til: hjælp til et mat A-projekt (eksamensforberedelse)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.