Omtal differentialkvotient og stamfunktion - lineær og potens

Lineær funktion:     f(x) = ax + b

Potens funktion:     g(x) = bx^a

Læs dine bøger.

Som om jeg ikke har gjort det.

Det eneste der står er at i differentialregning interesserer man sig for hvad en lille ændring i x-værdierne betyder for y-værdierne, hvorimod når man betragter en lineær funktion, vil a udtrykke hvordan ændring i x-værdieren har indflydelse på x-værdien.

specifikt for lineære funktioner
                                                                        f(x) = y = ax + b

                                                                        Δy/Δx = a = dy/dx = f '(x)

 for andre differentiable funktioner:
                                                                        limes   (f(x+Δx) - f(x)) / Δx  =  f '(x)
                                                                        ^Δx->0

er potens funktionen en af de andre differentiable funktioner?

ja                                                                    f(x) = b·x^a    

                                                                       f ' (x) = b·a·x^a-1

#2 & #4

Som om du ikke har læst grundigt om det * ...

#5

Er de så for differentialkvotienten eller er de også for stamfunktionen?

specifikt for lineære funktioner
                                                                        f(x) = y = ax + b

                                                                        Δy/Δx = a = dy/dx = f '(x)

       
                                                                        f(x) = ∫(ax + b)dx = (a/2)x² + bx + k

 for andre differentiable funktioner:
                                                                        limes   (f(x+Δx) - f(x)) / Δx  =  f '(x)
                                                                        ^Δx->0

specifikt for potensfunktioner
 

                                                                       f(x) = b·x^a    

                                                                       f ' (x) = b·a·x^a-1

                                                                       F(x) = ∫ b·x^a dx = (b/(a+1))·x^a+1 + k

#8

Mange tak! Nu kan jeg følge med.

Hvad så med hvis man har en eksponentiel funktion??

@#10

specifikt for eksponentialfunktioner
 

                                                                       f(x) = b·e^kx    

                                                                       f ' (x) = b·e^kx · k = k·(b·e^kx) = k·f(x)

                                                                       (1/k)·f ' (x) = f(x)

                                                                       ((1/k)·f (x)) ' = f(x)

                                                                       F(x) = ∫ f(x)dx = (1/k)·f (x) + c

eller med
                        e^k = a  ⇔ k = ln(a)    a>0

                                                                      f(x) = b·a^x    

                                                                       f ' (x) = b·a^x · ln(a) = ln(a)·(b·a^x) = ln(a)·f(x)

                                                                       (1/ln(a))·f ' (x) = f(x)

                                                                       ((1/ln(a))·f (x)) ' = f(x)

                                                                       F(x) = ∫ f(x)dx = (1/ln(a))·f (x) + c

Kan I sætte ord på væksthastigheden i #11 og i #12?

Jeg kan godt se, at væksthastigheden er konstant ved lineær vækst, men hvad gælder ved de andre to? Helst med ord :)

Tak