Matematik
Differentiering af f(x)=x^n
Hej
Jeg forstå ikke følgende fremgangsmåde til at differentiere f(x) = xn
Specielt første skridt, hvor det står an - bn =.... (Hvad foretages der helt specifikt her?)
Benyt denne formel, der gælder for hvert naturligt n > 0 :
an - bn = (a-b)·(an-1 + an-2·b + an-3·b2 + ... + a2·bn-3 + a·bn-2 + bn-1) (Hvilken formlen er det?)
hvor den højre parentes indeholder i alt n led . Man finder så, for ethvert naturligt tal n > 0, at
(x+h)n - xn = h·((x+h)n-1 + (x+h)n-2·x + (x+h)n-3·x2 + ... + (x+h)2·xn-3 + (x+h)·xn-2 + xn-1)
(Dette er et udrag af Andersen11's løsning tilbage i 2011)
Er der nogen, der kan forklare de første par skridt, og hvordan man efterfølgende løser resten af beviset?
Svar #1
01. juni 2012 af jnl123
Definitionen af en funktion f(x) = xn differentieret:
f'(x) = f(x+h) - f(x) = (x+h)n - xn , hvor h er et meget lille tal.
Hvis man så sætter a = (x+h) og b = x, så har man den generelle formel for faktorisering af:
an - bn = (a-b)*(...)
Dvs. at med a = (x+h) og b = x indsat:
(x+h)n - xn = (x+h - x)*(...) = h*(...)
Svar #2
01. juni 2012 af peter lind
Den første beviser du lettest ved at gange a-b ind i parentesen og samle led med samme potenser af a og b. Du vil opdage at de fleste går ud mod hinanden og at du ender med udtrykket på venstre side.
Du skal finde grænseværdien for differenskvotienten for h ->0. Dividerer du med h får du differenskvotienten på venstre side og på højre side går h foran parentesen ud. Inde i parentesen går alle led mod xn-1 for h -> 0 og der er n af dem.
En alternativ metode er at bruge induktion. At formlen holder for n = 1 er nemt at vise og du har formodentlig også set den for n=2. Antag at den gælder for n. Du skal så vise at den også gælder for n+1. Du har (xn+1)' = (x*xn)' Brug reglen om differentiation af et produkt på den og du får det ønskede.
Hvis du også vil vise den for n<0 kan du bruge at xn =1/x-n og bruge reglen for differentiation af en brøk på den.
Svar #3
01. juni 2012 af wtd (Slettet)
Tak for hælpen! Det hjalp meget.
Jeg forstår dog ikke udregningerne, når man skal undersøge f'(x) for n<0
Her er udregningerne:
(xn)'= (1/x-n) ' = -1/(x-n)2 * (x-n)' = -x2n * (-n) * nn-1 = n * xn-1
Kan i forklare de enkelte trin?
Svar #4
01. juni 2012 af peter lind
Det første trin bruger du blot definitionen af hvad man forstår ved et tal opløftet til et negativt tal.
I det næste bruger du at (1/g(x))' = -g'(x)/g(x)2 Den sidste kan du få enten ved at bruge reglen om differentiation af en brøk eller reglen for differentiation af en sammensat funktion z=1/y, y=g(x)
Svar #5
01. juni 2012 af wtd (Slettet)
Jeg forstår simpelhen ikke følgende trin:
-1/(x-n)2 * (x-n)' = -x2n * (-n) * nn-1
Hvordan kan -1/(x-n)2 differentieres til -x2n ???
Svar #6
01. juni 2012 af Andersen11 (Slettet)
#5
Der er ikke tale om, at differentiere -1/(x-n)2 til -x2n , men om at -1/(x-n)2 er lig med -x2n .
Der er nogle tastefejl i #3. Der skal stå
(xn)'= (1/x-n) ' = -1/(x-n)2 * (x-n)' = -x2n * (-n) * x-n-1 = n * xn-1
Skriv et svar til: Differentiering af f(x)=x^n
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.