Matematik

Opløsning af vektorer

04. september 2005 af 2835 (Slettet)

Jeg skal opløse en vektor c ud fra vektor a og b, når jeg har tegnet a og b, tegner jeg to linier som hver er parallele med enten vektor a eller b, jeg har så lavet et parallogram. nå jeg så teger vektor c fra vektor a og b's start til det andet hjørne, bliver min vektor c's længde lig med sqrt(17).

I opgaven står der at c(-2,-5), dvs den har en længde på sqrt(29).

Skal vektor c være lig med sqrt(29) når man opløser den?

::2835::

Svar #1
04. september 2005 af 2835 (Slettet)

Der står:
a(2,2) b(2,-1) og c(-2,-5)

Opløs c efter a og b

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. september 2005 af allan_sim

#0.
Det er ikke meningen, at du skal finde c som summen af a og b.

Når du skal opløse c efter a og b, skal du finde skalarer s og t, således at

c = sa + tb

Du skal med andre ord løse ligningssystemet

-2 = 2s + 2t
-5 = 2s - t

Svar #3
04. september 2005 af 2835 (Slettet)

skal vektor c ikke være lig med vektor a + vektor b?

Jeg forstår ikke helt #2

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Når man skal opløse en given vektor c efter to andre vektorer, a og b, skal man skrive c som en såkaldt linearkombination af a og b, hvorved forstås, at man skal finde skalarer (tal) s og t således, at

c = sa + tb

Som Allan skriver i #2, er det i det pågældende eksempel ækvivalent med at løse ligningssystemet

-2 = 2s + 2t
-5 = 2s - t

som fremkommer ved at skrive hver af c's koordinater som linearkombination af koordinaterne til vektorerne a og b.

Løs ligningssystemet; du kan tydeligvis se, at s,t = 1 _ikke_ løser det, så c er _ikke_ blot lig a + b.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. september 2005 af allan_sim

#3. Hvis c blot var summen af a og b, skulle c have koordinaterne (2+2,2-1)=(4,3), hvilket imidlertid ikke passer med c's koordinater.

Når vi opløser c efter a og b, finder vi ud af, hvor meget vi skal forlænge og ændre retning på hhv. a og b således, at summen af vores nye vektorer giver c.

Vi ganger derfor a med en skalar s og får dermed en ny vektor sa. Tilsvarende ganger vi b med en skalar t og tb. Disse vektorer er parallelle med vores oprindelige vektorer, og det er summen af disse nye vektorer, der skal give vektor c.

Altså er

c = sa+tb (i stedet for c=a+b)

Når vi så indfører koordinaterne for a, b og c, får vi de to ligninger i #2 frem:

(-2,-5) = s(2,2)+t(2,-1)

-2 = 2s+2t
-5 = 2s-t

Hjalp det? Prøv evt. at tegne situationen.

Svar #6
04. september 2005 af 2835 (Slettet)

JEP, tak til jer begge!

Svar #7
04. september 2005 af 2835 (Slettet)

-2 = 2s+2t <-> t=-1-s (1)
-5 = 2s-t (2)
indsætter (1) i (2):
-5=2s+1+s <-> s = -2
t = -1+2 <-> t = 1

vektor a's nye koordinater: (-2*2,-2*2)
vektor b's nye koordinater: (1*2,1*-1)
dvs.: a(-4,-4) b(2,-1)

Når jeg jeg opløser c vha. de nye koordinater passer det stadig ikke med længden?

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Jamen, alle vektorerne er givet fra starten af;

a = (2,2), b = (2,-1) og c = (-2,-5)

og derved bliver de, period!

Via ligningssystemet fastlægger du korrekt, at s = -2, t = 1, så

c = -2a + b

og det er da i hvert fald korrekt. Kontrollér det! Endvidere er

|c|^2 =
(b-2a)*(b-2a) =
|b|^2 + 4|a|^2 - 4(a*b) =

Eftersom

|b|^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5,
|a|^2 = 2*2^2 = 8
a*b = 2*2 + 2*(-1) = 2

har vi

|c|^2 = 5 + 4*8 - 4*2 = 29

og det er som bekendt korrekt, thi

|c|^2 = (-2)^2 + (-5)^2 = 29

//Epsilon

Skriv et svar til: Opløsning af vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.