Anden ordens diff. ligning

Det er altså en temmelig omfattende affære. Du kan se metoden på http://mathworld.wolfram.com/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquationSecondSolution.html

Man finder den fuldstændige løsning til den inhomogene differentialligning ved først at finde den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning og så dertil lægge den partikulære løsning.

Her skal man løse differentialligningen

y'' - y' -2y = 1 + 30·sin(x)

hvor det oplyses, at y_p(x) = cos(x) - 3·sin(x) er en løsning til

y'' - y' -2y = 10·sin(x) .

Så er det klart, at y_q = 3·y_p(x) er en løsning til

y'' - y' -2y = 30·sin(x),

og i den tidligere opgave fandtes det, at y_k(x) = -1/2 er en løsning til

y'' - y' -2y = 1 .

Derfor er y_s(x) = y_k(x) + y_q(x) = -1/2 +3·cos(x) - 9·sin(x)

en partikulærløsning til den forelagte differentialligning

y'' - y' -2y = 1 + 30·sin(x) .

Løs nu den homogene differentialligning

y'' - y' -2y = 0

og læg så y_s(x) til den homogene lignings fuldstændige løsning.

Opgaven består af 3 del opgaver. i a) løste jeg den homogene differentialligning 

     y''-y'-2y = 0 

den fuldstændige løsning er 

     y(t) = Ae^-t + Be^2t

Så løsningen er  

    y(x) = Ae^-x+Be^2x - (1/2) + 3cosx - 9sinx

#3

Ja, men benyt x i stedet for t i den fuldstændige løsning til den homogene ligning.

Tak for det, 

man må så håbe at opgaven altid er sådan at man kan bruge svar fra tidligere del opgaver til at løse opgaven. 

hvis vi f.eks. ikke i b) havde løst y''-y'-2y=1 

skulle vi så dele c) op således at vi først løste 

y''-y'-2y=1 

? 

#5

Hvis man ikke kan gætte en partikulærløsning i ét skridt, må man dele det op i skridt, som man kan overskue. Det er netop en fordel ved at arbejde med lineære ligninger.

Hvordan kan man kontrollere om man har regnet rigtigt? 

#7

Ved at indsætte den gættede løsning i differentialligningen. Den skal jo være en løsning.