Matematik

Differentialligninger - almen løsning

15. august 2012 af rop (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg er ved at forstå hvad differentialligninger er og hvordan man løser dem, og det går mildest talt ikke særlig godt!

Jeg startede med at kigge på denne differentialligning, hvor jeg skal finde den almene løsning på:

x ' + 2tx = 4t

Hertil skal jeg bruge formlen:

x ' + a(t)x = b(t) <=> x =e^-∫a(t)dt)(C+ ∫ e∫a(t)dt *b(t))

og vælger jeg a(t) = 2t og b(t) = 4t, hvortil ∫2t dt = t²

Når jeg indsætter det i formlen får jeg (efter at have ganget ind):

x= Ce^{-t^2}+e^{-t^2}*∫ e^{t^2}4t dt

Nu kommer problemet mht til hvad jeg får som resultat og hvad bogen siger er svaret. Først integrerer jeg ∫ e^{t^2}4t dt med delvis integration og får:

∫ e^{t^2}4t dt = 4t * 1/2 e^{t^2}- ∫ 4*e^{t^2}dt = 2t e^t^{^2}- 2e^{t^2}

Dette indsætter jeg i det oprindelige og får

Ce^{-t^2}+e^{-t^2}*(2t e^{t^2}- 2e^{t^2}) = C^{-t^2}+2t-2

Min bog får Ce^{-t^2}+e^{-t^2}2e^{t^2}= Ce^{-t^2}+2 og det er jo ikke ligefrem det samme som mit eget resultat.

Derfor ville det være super dejligt, hvis nogen derude kunne forklare mig hvornår og hvad jeg gør galt, helst en smule detaljeret, for de her differentialligninger kører ikke ligefrem for mig!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. august 2012 af peter lind

Det er din sidste integration, der er forkert. Brug i stedet substitution u= t², du = 2tdt

Svar #2
16. august 2012 af rop (Slettet)

Mange tak for svaret, jeg havde slet ikke overvejet at bruge substitution, men sørme om ikke det gav det rigtige svar :)

Jeg ville høre om du, eller en anden derude kan hjælpe mig med dette også:

Jeg skal integrere en brøk, der hedder:

∫4t³/1+t⁴ dt

Jeg tænker at jeg også skal bruge substitution til dette, men jeg ikke ikke lige se hvad der skulle vælges til u i første omgang. Derudover gør min bog dette

= ∫1/1+t⁴d(1+t⁴)

og det skridt forstår jeg ikke rigtig. Jeg kan godt se at differentialkvotienten af 1+t^4 = 4t^3, som jo står i tælleren, men hvorfor må man bare tage den og sætte ind i stedet for t i dt? - Hvis det da overhovedet DET som er tankegangen bag det.

Kan du forklare hvorfor man gør dette?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. august 2012 af peter lind

Er det ikke t³/(1+t⁴) du skal integrere ?

I så fald skal du bruge substitutionen u = 1+t⁴ du= 4t³dt. Din lærer har brugt denne substitution uden at give substitutionen et navn (Jeg har brugt navnet u )

Svar #4
16. august 2012 af rop (Slettet)

Altså i bogens udregning går den bare fra

∫4t³/(1+t ⁴) dt = ∫ 1 / (1+t⁴ ) d(1+t⁴ ) = ln(1+t⁴) + k

Så er 4 blevet sat udenfor eller hvad? Det ligner nemlig ikke for mig, at det bliver ganget på senere hen..

Jeg forstår godt meningen med at sætte u=1+t⁴og dermed du = 4t³dt men det giver kun mening for mig, når det er gange, altså at så skal jeg finde en måde at udtrykke den anden del af produktet, med det du, som er blevet fundet (ud fra hvad man vælger som u).

Men jeg kan ikke forstå skridtet imellem det oprindelige integrale, hvor der ikke længere står dt, men d(1+t^4). Hvorfor bliver det skrevet på den måde?

Skriv et svar til: Differentialligninger - almen løsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.