Matematik

Differentiering/integrering

08. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Har en matematik prøve i næste uge, som går ud på at differentiere og integrere nogle funktioner. Da jeg gerne vil klare mig rigtig godt håber jeg I kan hjælpe lidt. Har øvet lidt med nogle opgaver, men der var følgende få der gav problemer.

Integrering:
1/(sqrt(x))+x^2

8cos(2x+1)

Differentiering:
x/(x+1)

Jeg har fået at vide at vi ikke skal integrere ved substitution, da vi ikke har lært det.
Er der nogle der kan hjælpe med disse?
Ellers må folk gerne give flere af denne slags opgaver da der ikke er flere i bogen :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. september 2005 af Duffy

1/(sqrt(x))+x^2 =

1/x^(1/2) + x^2 =

x^(-1/2) + x^2 =

..og brug så nu formlen for int af potens-funktioner.

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. september 2005 af Epsilon (Slettet)

Integralet

S[8*cos(2x + 1)]dx

ville være oplagt at evaluere med substitution. Men siden du ikke skal det, så bestem først en stamfunktion til cos(2x + 1). Her ville det hjælpe, om du ihukom regnereglen for differentiation af en sammensat funktion.

Brøken x/(x+1) differentierer du selv; det må I have trænet til evindelighed på nuværende tidspunkt.

//Epsilon

Svar #3
08. september 2005 af Mads123 (Slettet)

#1 ahh i see!

Nu er det sådan der står resultaterne i bogen, så jeg spørger faktisk fordi jeg ikke ved hvordan de laves :)

Det giver stamfunktionen (sin(2*x + 1))/(2), men jeg ved ikke hvorfor ærligt talt. (altså hvorfor divideres det med 2)
Resultatet giver 4sin(2x+1), som jeg også let kan se. Men ikke ved at integrere :|

Hmm synes aldrig jeg har set den, og kan ikke se hvilken formel jeg skal bruge for at differentiere den. Det giver (x+1)^-2, men end ikke det hjælper.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Differentiér

1/2*sin(2x + 1)

I henhold til integrationsprøven skal dette være lig cos(2x + 1). Faktoren 1/2 ophæver faktoren 2, som resulterer ved differentiation af den indre funktion '2x + 1'. I øvrigt hvis der i bogens facitliste står at læse, at

S[8*cos(2x + 1)]dx = 4*sin(2x + 1)

så overvej at kyle den lige lukt i affaldsspanden. Det korrekte resultat er

S[8*cos(2x + 1)]dx = 4*sin(2x + 1) + k

for en vilkårlig reel konstant k (integrationskonstanten).

x/(x+1) er en polynomiumsbrøk. Hvilken regel mon man skal have i spil for at differentiere den? :-)

//Epsilon

Svar #5
09. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Er ikke sikker jeg er helt med, fordi jeg skal jo integrere og ikke differentiere for at komme frem til resultatet.
Og når jeg finder stamfunktionen til cos(2x+1) forstår jeg ikke hvorfor det divideres med 2. Det burde bare give sin(2x+1) efter min mening =)
(er det her en substition opgave?)

Polynomiumsbrøk lyder som noget med andengradsligning. Og differentioan af andengradsligning bruges tit x^a -> ax^(a-1). Men kan ikke se hvad det hjælper?

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Når du skal bestemme et ubestemt integral såsom

S[f(x)]dx

så skal du bestemme en vilkårlig stamfunktion, lad os sige F_k(x) (indiceret med hensyn til integrationskonstanten k), til integranden f.

Det betyder, at du efterfølgende kan kontrollere resultatet ved differentiation. Hvis ikke

F_k'(x) = f(x)

så har du lavet en fejl undervejs ved integrationen. Differentiér sin(2x + 1); det giver ikke cos(2x + 1), så sin(2x + 1) er ikke en stamfunktion til cos(2x + 1). Det er 1/2*sin(2x + 1) derimod.

Kvotientreglen for differentiation af en brøk

h(x) = f(x)/g(x)

udsiger, at såfremt f og g begge er differentiable, og g ej er 0, da er h = f/g differentiabel med afledet

h'(x) = [f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)]/g(x)^2

Brug dette på brøken x/(x+1). Denne er således differentiabel for x E R\\{-1}.

//Epsilon

Svar #7
09. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Ej, nu må jeg lige spænde hjelmen. Selvfølgelig kender jeg til kvotientreglen.

Angående min bog, så er der ikke et ligmedstegn, men det er angivet som resultat. Men tror ikke det går jeg smider den ud ;)

Sidder på skolen så må lige prøve med den anden opgave, hvor jeg samtidig har formelsamling.

Er der ikke nogle der har flere differentierings/integrerings opgaver? Gerne nogle normale og tricky nogle.

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Nuvel, her følger et par lidt sværere opgaver.

Opgave 1
Angiv for hvilke x, at følgende funktioner er differentiable, og bestem den afledede funktion.

a) f(x) = 5x/sqrt(x-3)
b) g(x) = sqrt(x^2)
c) h(x) = (x^2)*ln(1/x)

Opgave 2
Bestem hvert af integralerne:

a) S[ln(2x)/x]dx

b) S[e^(x)*cos(x)]dx

Vink til b): partiel integration.

Skriv eventuelt, når du har nogle konkrete bud, og jeg skal i så fald gerne kommentere dem. Regn dog med, at der kan gå lidt tid, inden jeg svarer.

//Epsilon

Svar #9
09. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Tak for opgaverne!
Har nu prøvet, men ser ud til at det har givet noget forkert ifølge computer :/

1.
a) 3*sqrt(x-3)-5x/((sqrt(x-3))^2), for x E R\\{0,3}

b) 2x/(2sqrt(x^2)), for x E R\\{0}

c) 2x*ln(1/x) + x^2 * (-x/(x^2)), for x E R\\{0}

2.
a) Kunne jeg slet ikke.

b) Tror heller ikke vi får om partial integration, men fik
cos(x)^2, for x E R

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#9:

ad 1.
a) Ikke korrekt. Bestem i første omgang definitionsmængden for f. Så skulle du kunne se for hvilke x, at f er differentiabel. Ved kvotientreglen får man en ganske anden afledet. Prøv igen.

b) Enig, om end den afledede kan forsimples betydeligt.

c) "Differentiabilitetsområdet" er forkert. ln(1/x) er tillige udefineret for x

ad 2.
a) Du kan enten integrere ved substitution direkte eller først opsplitte integranden i en sum af to led ved hjælp af en logaritmeregneregel og dernæst benytte substitution på et af leddene.

b) Ikke korrekt; den er også lidt svær.

Vink: partiel integration to gange.

//Epsilon

Svar #11
10. september 2005 af Mads123 (Slettet)

1.
a) Defintionsmængden er x E R+\\{0,3}. Jeg bruger netop kvotientreglen. Når jeg kommer til sqrt(x-3) bruger jeg så reglen for en sammensat funktion.

5*sqrt(x-3)-5x*(1/(2*sqrt(x-3)))/((sqrt(x-3))^2), som er forkortet i 9#.
Hvad gør jeg forkert?

b) x/(sqrt(x^2)). Så kan den vel ikke forkortes mere?

c)ln(1/x)+x . forkortet rigtigt? Ja kan godt se x
2.
a) Tror jeg bare vi springer over ;)

b) Lyder også lidt for kompliceret til mig. Ligner noget substitution for mig.

Ellers kom gerne med flere. Måske lidt lettere integrerings opgaver :)

Svar #12
10. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Hov, b kan vel forkortes til 1.

Brugbart svar (0)

Svar #13
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:

ad 1.
a) Nej. Du mener det rigtige, men skriver det forkert op. Definitionsmængden er ]3;infty[. Alternativt kan man skrive, at

x > 3 (eller: x E R+\\]0;3]).

'{0,3}' er en topunktsmængde bestående af elementerne 0 og 3; ikke intervallet [0;3], som du vist tror.

Jeg ser gerne, at du demonstrerer, hvorledes resultatet i #9 fremkommer. Det korrekte resultat er

f'(x) = (5x - 30)/[2*(x-3)^(3/2)]

Nu har du vel husket, at nævneren 'sqrt(x-3)^2' [=(x-3)] skal divideres op i begge led i tælleren, ikke?

b) Jo (se nedenfor).

c) Nej, hvordan kan du dog få det? Vi har, at

h'(x) =
2x*ln(1/x) + (x^2)*(-x/x^2) =
x*(2*ln(1/x) - 1)

Tværtimod er h (og h') kun defineret for x > 0 (ikke x

ad 2.
a) Vend i så fald tilbage til den, når du er mere fortrolig med integration ved substitution.

b) Partiel integration:

S[e^(x)*cos(x)]dx =

e^(x)*cos(x) + S[e^(x)*sin(x)]dx (1)

Partiel integration anvendt på det sidste integral giver:

S[e^(x)*sin(x)]dx =

e^(x)*sin(x) - S[e^(x)*cos(x)]dx (2)

Bemærk, at integralet S[e^(x)*cos(x)]dx præcis er det oprindelige. Indsættes (2) i (1), har vi derfor

2*S[e^(x)*cos(x)]dx = e^(x)*[sin(x) + cos(x)]

hvoraf

S[e^(x)*cos(x)]dx = e^(x)*[sin(x) + cos(x)]/2

Kan du følge det?

#12:
Kun for x > 0. Bemærk, at g(x) = sqrt(x^2) netop er funktionen |x|, og dennes afledede er velkendt. Vi har

g'(x) = -1, x
g'(x) = 1, x > 0

//Epsilon

Svar #14
10. september 2005 af Mads123 (Slettet)

1.
a) Kan godt se x>3 skal gælde, men mente faktisk det jeg skrev.
Måden jeg differentiere:
f(x)=5x, g(x)=sqrt(x-3)
f'(x)*g(x) giver 5 *sqrt(x-3).
f(x)*g'(x): her differentiere vi først g, da det er en sammensat funktion.
sqrt(X)' = 1/(2sqrt(x)) -> 1/(2sqrt(x-3)) *1 da (x-3)differentieret giver 1.
f(x)*g'(x): 5x*1/(2sqrt(x-3))

Vi har altså 5 *sqrt(x-3)-5x*(1/(2sqrt(x-3))) og i nævneren har vi bare (sqrt(x-3))^2

c)Ved ikke helt hvad jeg gør forkert her. vi har differentieret at den er: 2x*ln(1/x) + x^2 *x *(-1/(x^2)) =
2x*ln(1/x) + x * -1.
Kan faktisk lige huske hvad jeg gjorde for at få det andet :)

Har sprunget over det med partial integration. Nok vigtigst at jeg har styr på det andet. Så kan jeg vende tilbage til det senere.

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#14:

ad 1)
a) Jeg er klar over, hvad du mente; du skal blot være opmærksom på, at der er markant forskel på {0,3} og [0;3].

Differentiationen udfører du korrekt, men du glemmer i sidste ende de relevante parenteser om tællerudtrykket. Vi har (i uforkortet form);

d/dx[5x/sqrt(3-x)] =

[5*sqrt(x-3) - 5x/(2*sqrt(x-3))]/(x-3)

idet x-3 = sqrt(x-3)^2. Eftervis nu, at man kan omskrive dette til

(5x - 30)/[2*(x-3)^(3/2)]

(jf. #13).

c) Det ved jeg sandt at sige heller ikke. Faktum er i hvert fald, at det korrekte resultat er

h'(x) = 2x*ln(1/x) - x, x > 0

//Epsilon

Svar #16
10. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Hov må have misset at du har svaret.

a) Hehe, jeg mente faktisk {0,3}, men fandt senere ud af at det var [0;3]. Altså havde kun kigget efter hvor noget blev nul :)

Det er da godt at jeg har differentieret den rigtigt, men kan nu altså ikke få den forkortet til det ønskede.

Hmm tror egentlig der er styr på det nu, så hvis du har lyst må du gerne finde på flere opgaver. Har vidst brug for lidt mere træning.

Svar #17
10. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Er lidt ot, men du kan sikkert hurtigt svare.

f(x)=x^2 og g(x)=(-1/2)x+2(1/4)
afgrænser et område i første kvadrant. Beregn arealet af dette område.

Altså man finder først skæringspunkterne mellem f og g. Men hvad gør man så? Skal man ikke vide hvilken der ligger højest på y-aksen, altså vide om man skal gange med -1?
Eller har jeg misforstået noget igen?

Brugbart svar (0)

Svar #18
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: Jo, find skæringspunkterne mellem graferne for f og g ved at løse

f(x) = g(x)

og løs fx dernæst ulighederne

f(x) < g(x) og f(x) > g(x)

Husk i øvrigt, at du primært er interesseret i 1.kvadrant (x,y > 0).

Arealet af den af graferne for f og g afgrænsede punktmængde i 1.kvadrant kan så findes ved hjælp af integralregning. Er du med på det?

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #19
10. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Vink:

[5*sqrt(x-3) - 5x/(2*sqrt(x-3))]/(x-3) =

[5*(x-3) - 5/2*x]/[(x-3)*sqrt(x-3)]

Jeg har blot multipliceret med sqrt(x-3) i tæller og nævner. Fortsæt nu herfra og husk, at

(x-3)*sqrt(x-3) =
(x-3)^(1 + 1/2) =
(x-3)^(3/2)

Når du har løst opgaven i #17, kan et par opgaver mere måske komme på tale. Men ikke før; ellers bliver det let noget rod. I øvrigt er det glimrende træning selv at finde på opgaver.

//Epsilon

Svar #20
11. september 2005 af Mads123 (Slettet)

Undskyld hvis du har ventet på svar. Har dog ikke haft de store problemer med min blæk, men der er nogle få.

1)I 17# skal der istedet for f(x) stå f(x)=1/x. Kan det så passe det bestemte integrale giver uendeligt. På en måde giver det mening, men synes bare jeg har hørt man godt kunne få noget andet selvom det var en asymptote.

2)f(x)=x^2 -6x + 10
M{(x,y)|f(x)
Rumfanget af det omdrejningslegeme der fremkommer når M drejes 360 om
1. førsteaksen
2. linjen med ligningen y=2

Har fundet frem til at jeg skal bruge S[pi*f^2(x) dx], men hvordan skal den bruges i 2?

3) f(x)=1+(1/(x-1))
t(x)=-1x+4

Grafen for f, tangenten t og linjen med ligningen x=5 afgrænser et område, der har et areal. Bestem dette.
Hvordan redegøre jeg for at f(x) "ligger øverst"? Og hvorfor begrænser de den øvre værdi til 5 når det bestemte integrale alligevel giver uendeligt?

Det var en masse, så bare tage dem enkeltvis hvis det er :)

Forrige 1 2 Næste

Der er 32 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.