Matematik

Anderledes (mat)opgave...

12. september 2005 af 2835 (Slettet)

a+b=3 og a^2+b^2=13

bestem:
1) a*b
2) a^3+b^3

Har lavet altmuligt, isoleret, sat ind osv., men kom ikke frem til et tal.

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. september 2005 af frodo (Slettet)

a=3-b
anvendes i næste ligning:

(3-b)^2+b^2=13
<=> ??

deraf kan b isoleres..

Hvorefter du kan finde a, og de eftersøgte værdier!

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

ad 1)
Vink: a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab

ad 2)
Den giver du lige en chance mere ;-)

//Epsilon

Svar #3
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

Ja, men de giver en andengradsligning, hvor der er to løsninger?

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#3:
Ja, frodos forslag i #1 giver to værdier af a og b. Men det kan vel heller ikke undre?

Uanset hvilket af de to talpar, man vælger, giver de præcis samme værdi af de efterspurgte størrelser i 1) og 2). Med andre ord fejler frodos forslag intet.

Men hvis man tænker sig lidt om, kan man helt slippe for at udregne a og b (jf. #2). Det samme er tilfældet i 2).

//Epsilon

Svar #5
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

Okay fik:

ab = -2

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Korrekt. Hvad så med 2)?

//Epsilon

Svar #7
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

ahh :D
2)
a^3+b^3 = ab(a^2+b^2)

::2835::

Svar #8
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

UPs :D

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Nej, ikke just, thi

ab(a^2 + b^2) = (a^3)b + a(b^3)

men du er på rette spor. Udtryk a^3 + b^3 ved kendte størrelser.

//Epsilon

Svar #10
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

Jeg ved:
a+b = 3
a^2+b^2=13
a*b = -2
er der andet jeg bør vide?

Svar #11
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

(a^3+b^3) = (a+b)^3-(3a^2b+3ab^2)

Svar #12
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

(a^3+b^3) = (a+b)^3-(3a^2b+3ab^2)
= (a+b)(a^2+b^2+2ab)

(a+b)^3-(3a^2b+3ab^2)
=(a+b)(a^2+b^2+2ab)
<=>
3(13+2(-2))
=(a+b)^3-(3a^2b+3ab^2)
=(a^3+b^3)

Brugbart svar (0)

Svar #13
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Der er ikke givet andre oplysninger på nuværende tidspunkt, så nej.

#11: Ganske rigtigt. Skriv nu

(3a^2)b + 3ab^2

på en hensigtsmæssig måde.

Bagefter kan du så konstatere, at vi alternativt kunne have udregnet a^3 + b^3 ud fra

(a+b)(a^2 + b^2)

//Epsilon

Svar #14
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

har fået at:
27 = (a+b)^3

dvs. at

27-3(ab^2+a^2b) = a^3+b^3

prøver lige at læse #13

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Næ, pas nu lige på. Dette er jo ikke korrekt:

"(a+b)^3-(3a^2b+3ab^2) =
(a+b)(a^2+b^2+2ab)"

for

(a+b)(a^2 + b^2 + 2ab) =
(a+b)(a+b)^2 =
(a+b)^3

//Epsilon

Svar #16
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

3a^2b+3ab^2 = 3*ab*a+3*ab*a =
3*(-2)a + 3*(-2)b
=-6a-6b = -6(a+b) = -6(3)= -18

dvs. at jf #14 at:
a^3+b^3 = 27+18 = 45

RIGTIGT?????

::2835::

Svar #17
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

Tror jeg er kommet til at forvirre dig, fik du også 45?

::2835::

Brugbart svar (0)

Svar #18
12. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: 45 er korrekt. Jeg er skam ikke forvirret :-)

For nu at gøre en ellers længere snak kort, så er det bedre at regne formelt.

Vi ved, at

(a+b)(a^2 + b^2) =
a^3 + b^3 + ab^2 + ba^2 =
a^3 + b^3 + ab(a+b)

hvoraf

a^3 + b^3 =
(a+b)(a^2 + b^2) - ab(a+b) =
(a+b)(a^2 + b^2 - ab)

Vi kender såvel a+b som a^2 + b^2 og ab. Indsættelse giver

a^3 + b^3 = 3*(13-(-2)) = 45

Tilsvarende, som du ellers var i færd med i #11, ser vi, at

(a+b)^3 =
a^3 + b^3 + 3ba^2 + 3ab^2 =
a^3 + b^3 + 3ab(a+b)

hvoraf

a^3 + b^3 =
(a+b)^3 - 3ab(a+b) =
(3)^3 - 3*(-2)*(3) =
45

//Epsilon

Svar #19
12. september 2005 af 2835 (Slettet)

OK, mange tak for din hjælp

::2835::

Skriv et svar til: Anderledes (mat)opgave...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.