Differentialregning - mono-forhold

Det skal siges at jeg sagtens kan lave monotoniforhold, men når det kommer til at en funktion er begrænset i sin definitionsmængde, så bliver jeg lidt usikker på, om jeg må tage intervallerne m. når jeg laver monotoniforhold..

at funktionen er begrænset til et interval betyder bare at hvis der fx var ekstrema i x=0 så ignorer man det, kun løsninger i intervallet gælder, du skal altså gå frem som du plejer og så bagefter tjekke at det nu ligger i det ønskede interval.

                 f(x) = x³-4x²+5 for x ∈ [-1;4]

                 f '(x) = 3x²-8x = 3x(x-(8/3))

  ekstrema kræver
                 f '(x_o) = 0     ∈ [-1;4]
      dvs
                  x_o = 0   v   x_o = (8/3)

monotoniforhold;
      for -1≤x<0 er f '(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende
      for 0<x<8/3 er f '(x)<0, hvorfor f(x) er monotont aftagende
      for 8/3<x≤4 er f '(x)>0, hvorfor f(x) er monotont voksende

mono-linje

x        -1            0               8/3             4 

-------------------------------------------------->

f'(x)          +       0       -        0    +

f(x)       pil op       pil ned        pil op

f'(x)=3x^2-8x

f'(x)=0 <=> x=0 v x=8/3

f'(0,5)=4,75

Dvs. f er voksende i [-1,0]

Men må jeg her tage f'(-1), som er intervalendepunkt..?

    ja
               da 
                     x∈ [-1;4]  er identisk med   -1≤x≤4
                       

Så jeg må godt tage f'(-1) for at bestemme monotoniforholdet i monotoniintervallet [-1;0] ?

?

#6 ja det er er en del af definitionsmængden.

Okay. tak.

Hvad med ekstremumssteder og ekstremumsværdier, og om de er lokale eller globale..`?

#10 der betragtes intervallet også kun, husk at tage endepunkterne med.

Okay, men jeg er stødt ind i et problem.

når jeg bestemmer f(4) får jeg 5 og når jeg bestemmer f(0) får jeg også 5!

Så jeg ved ikke om man skal kalde det ekstrema i x=0, for et globalt eller lokalt..???

#12

Når man betragter en differentiabel funktion f(x) på et afsluttet interval, ved man, at funktionen har et maksimum og et minimum. Et maksimum eller minimum kan antages enten i det indre i et lokalt ekstremumspunkt (hvor f '(x) = 0), eller i et af intervallets endepunkter. Hvis den største værdi antages i mere end eet punkt, kan man betragte ethvert af disse ekstremumspunkter som et globalt maksimumspunkt. Punktet x₀ er et globalt maksimumspunkt, hvis det for alle x i Dm(f) gælder, at f(x) ≤ f(x₀) .

Okay, så der er et globalt ekstrema i x=0 ?

#14

Ja, der er globalt maksimum både i x = 0 og i x = 4 .

Skal man også medtage intervalendepunkterne som ekstremaer..?

#16

Ja. Genlæs forklaringen i #13. Det fik du også forklaret i en tidligere opgave.

Nå okay, det vidste jeg så ikke .

#18

Du fik jo regnet præcis den samme opgave i en privat besked den 1.-3. oktober.

Jep, men fik åbenbart ikke helt fat i det dengang.