Integrale i hånden

Dem har jeg svaret på før.

a) Benyt partiel integration


F(x)G(X) = S[f(x)G(x)]dx + S[F(x)g(x)]

Sæt F(x)=ln(x), g(x)=1/x^3 og gå videre udfra

S[F(x)g(x)]dx = F(x)G(x) - S[f(x)G(x)]dx

b) Benyt substitutionen t=ln(x) => dt=dx/x og at integrationsgrænserne transformeres som

x=e <=> t=1
x=e^2 <=> ln(e^2) [Forkort selv]

a'eren er jeg ikke helt med på, jeg har nemlig fået at vide at jeg skal kunne løse den vha. substitution, men det er måske forkert?!

Det i b'eren forstår jeg godt, det har jeg lavet, den bliver så bare:

ln(e^2)=2
S(1/t^3)
1

Dette forstår jeg godt, men hvad bliver stamfunktionen så?

Ok. I så fald kan du forsøge dig med substitutionen t=ln(x) <=> x=e^t og dt=dx/x. Det giver

S[ln(x)/x^3]dx =

S[t/e^(2t)]dt =

S[te^(-2t)]dt

og så udføre partiel integration herpå. Men det virker kluntet.

Til dit andet spørgsmål. Ja, hvad er mon stamfunktionen til funktionen t^(-3)...?

Har du ikke lært at

S[x^n]dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C, C reel

Her kan vi nøjes med at lade n E Z, mængden af hele tal.

Er sgu ikke helt med i den første, bare prøv at forklare mig det på din måde hvis det er den bedste, så bliver jeg jo også klogere :)

Den sidste har jeg aldrig lært, hvad vil det så sige at stamfunktionen til: 1/t^3 er??

Forresten tak for den super gode hjælp, det er lækkert!

Hovsa! ;-)

Det er

S[x^n]dx = 1/(n+1)x^(n+1) + k, k E R .

n E Z, n<>-1 ,

for n = -1 er

S[x^n]dx = ln(x) + k , k E R .



Duffy

#3:
Ja, n E Z, n != -1, ej at forglemme ;-)

//Epsilon

I a'eren kunne man ikke gøre sådan: at den bliver t=ln(x) <=> x=e^t og dt=dx/x. Det giver

S[t/x^2]dx eller det mig der er forkert på den?!

vi kan jo nemlig dele integralet op:

S(ln(x)/x^3)=S((1/x)*(ln(x)/x^2))

eller er det forkert?! burde vel være ok at gøre?

Ok da. I første opgave skal vi bestemme

S[ln(x)/x^3]dx

og jeg vil prøve at vise maskineriet ved en partiel integration. En partiel integration udnytter i bund og grund blot at der gælder følgende differentiationsregel for produktet mellem to funktioner, f(x) og g(x)

(fg)' = f'g + fg'

Integreres nu finder vi

S[(fg)']dx = S[f'g]dx + S[fg']dx

Men een stamfunktion til (fg)' er jo netop fg (fordi differentialkvotienten af (fg) jo netop er (fg)'). D.v.s.

fg = S[f'g]dx + S[fg']dx (1)

[her skal jeg lige indføje at der ved integration af venstresiden fremkom en reel konstant. Den er ikke glemt, men vi bortkaster den, da hvert af de øvrige integraler vil bidrage med en reel konstant - så den skal nok dukke op].

Ideen i partiel integration er nu at man vælger sine funktioner f og således at

1. Enten fg' eller f'g er lig ens integrand
2. Det resterende integral er "lettere"

Vores integrand hedder ln(x)/x^3. Hvis vi nu vælger f(x)=ln(x) og g'(x)=1/x^3 så er

fg' = ln(x)/x^3

lig vores integrand. Endvidere er g(x)=-½/x^2 og f'(x)=1/x. Vi indsætter nu i (1) og får

-½ln(x)/x^2 = S[(1/x)*(-½/x^2)]dx + S[ln(x)/x^3]dx
<=>
S[ln(x)/x^3]dx = -½ln(x)/x^2 - S[-½/x^3]dx (2)

Så er det vi skal bruge formlen fra mit tidligere indlæg:

S[x^n]dx = 1/(n+1)x^(n+1)+C

og vi finder derfor

S[-½/x^3]dx = -½S[x^(-3)]dx = -½*1/(-3+1)x^(-3+1)+C
= (1/4)x^(-2)

Det indsætter vi i (2) og finder så resultatet

S[ln(x)/x^3]=-½ln(x)/x^2 + (1/4)/x^2+C, C reel

Den reelle konstant C er ligegyldig, da du skal udregne et bestemt integral. Indsæt selv grænserne givet i opgaven.

Dit andet spørgsmål har jeg nu besvaret ovenfor.

Jeg forstår ikke lige hvorfor man ikke kan gøre som jeg skriver i #7 og efter substitution få et integrale der ser sådan ud:
S(t/x^2)

Er jeg helt galt på den?

#5:
Kun under antagelse om, at x > 0. Vi har i ethvert åbent interval

I = ]a;b[, a >= 0 v b =

at

S[x^n]dx = ln|x| + k

hvis n = -1.

//Epsilon