Matematik

moderæret sin funktions's skæring med x-aksen

22. september 2005 af blister (Slettet)

Hej.

jeg sidder med en funktion der hedder f(x)=c*sin(b*x-a)

a=0.5
b=0.4
c=0.6

Jeg er her interesseret i at finde finde funktionens skærings punkter med x-aksen, i det intervald der strækker sig fra x=16 til 26 (altså fra 16 til 26 x).
Jeg kan dog ikke se hvor det er jeg går galt når jeg forsøger mig med udregningen, for kan kun komme frem til det første skæringspunkt som ligger i ca. x=1.25 (bemærk at dette er ude for det før nævnte intervald). Er der nogen der kan sige mig hvad jeg har overset?

Anders

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2005 af Epsilon (Slettet)

Sinus er 2*pi-periodisk; udnyt dette forhold til at fastlægge de søgte x-værdier i [16;26].

I øvrigt skal terminologien lige anvendes korrekt; det er grafen for funktionen, som skærer førsteaksen - ikke funktionen selv. Nulpunkterne for f er x-koordinaterne hørende til grafens afskæringer med førsteaksen.

//Epsilon

Svar #2
22. september 2005 af blister (Slettet)

Syntes lige jeg vil slutte enmet med at sige at at den halve lambda blev
(2*(pi))/b

Svar #3
22. september 2005 af blister (Slettet)

Tak for hjælpen forresten;O)

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#2:
Øh? T = 2*pi/b er nu godt nok perioden for den harmoniske funktion, f. Men den kalder I måske for 'lambda'?

Det kan bemærkes, at de eksakte koordinatsæt til skæringspunkterne mellem grafen for f og førsteaksen i [16;26] er

(5*(pi + 1/4), 0) og (5*(3*pi/2 + 1/4), 0)

//Epsilon

Svar #5
22. september 2005 af blister (Slettet)

Men den kalder I måske for 'lambda'?

Ja det er korekt. Men man skal jo snart passe på hvilke latinske bogstaver man vælger, ad jo næsten alle sammen har en enten fysiks eller matematik sammenhæng. Og nogle gange op til flere. Men som sagt ja det gør vi=O)

Svar #6
24. september 2005 af blister (Slettet)

Men hvordan gør man i så fald funktionen ikke længere er en enkelt funktion, men istedet for en sms funktion som ser så ledes ud:

f(x)=(1/3+x)+c*sin(b*x-a)

Det vil jo betyde at T ikke længere er den sammen for hver bølge.

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#6:
Det er straks lidt mere kompliceret; bølgestrukturen afhænger fortsat af konstanterne a,b og c; men grafen for f vil nu oscillere (svinge) om linjen y = x + 1/3 i stedet for førsteaksen (y = 0).

Antallet af skæringspunkter er følgelig betydeligt reduceret, idet x + 1/3 er voksende, mens leddet c*sin(bx - a) oscillerer mellem værdierne -c og c. Det grafiske billede kunne passende beskrives som en bølge, der udbreder sig langs omtalte linje.

Man kan stadigvæk give mening til 'perioden'; denne gang dog med henvisning til funktionen

d(x) = f(x) - (x + 1/3)

som måler den lodrette afstand mellem grafen for f og linjen.

//Epsilon

Svar #8
24. september 2005 af blister (Slettet)

Hej Epsilon.

Jeg er ikke helt sikker på at jeg kan følge dig på den her. For det første hvordan er du kommet frem følgende fra y=h(x)=x+1/2. For det andet hvordan kan grafen for f(x)=(1/3+x)+c*sin(b*x-a) oscillere om h(x), da denne jo er en ret linie med et gevaldigt stignings tal.
Grafen for d(x)=f(x)-x+1/3 hvordan skal denne forstås? Du må undskylde hvis jeg lyder lidt uforstående over for alt dette, men det skal vist bare skæres lidt mere ud.

Anders

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#8:
Nu mener du forhåbentlig

1/3 + x

og ikke 1/(3+x), vel? Ellers skulle du have skrevet sidstnævnte; parenteserne er ikke overflødige, når man opskriver brøker på den måde.

//Epsilon

Svar #10
24. september 2005 af blister (Slettet)

Jep jeg kan se hvad du mener og hvad jeg glemte. Det gør mig bare så forvirret når man skal skrive det på linie form. Det jeg mente var:

| 1 |
| - | + c*sin(b*x-a)
| 3+x |

Nu skulle den vist være iorden. Undskylder igen fejlen.

Anders

Svar #11
24. september 2005 af blister (Slettet)

Kan se at min ligning ovenover ikke blev postet som jeg ellers havde skrevet den op, men håber at den kan forståes alligevel. Eller er den på linie form her:

((1)/(3+x))+c*sin(b*x-a)

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:
Nuvel; der er en såkaldt singularitet i x = -3 (funktionen er udefineret).

Sagen stiller sig desværre ikke mindre kompliceret an nu; tværtimod. Man kan nemlig, så vidt jeg kan se, ikke længere eksplicit beregne sig frem til skæringspunkterne, idet x indgår både rent (i leddet 1/(3+x)) og i sinusleddet.

En bekvem metode til at håndtere dette problem er en numerisk løsning. Hvis ikke din grafregner er udstyret med en numerisk nulpunktssøger, så indtegn på grafregneren graferne for funktionerne

g(x) = -1/(3+x) [husk fortegnet]
h(x) = c*sin(bx - a)

Bemærk, at f(x) = h(x)-g(x).

Foretag en numerisk bestemmelse af skæringspunkterne mellem graferne for g og h, vha. intersect-facilitet eller lignende. Dette svarer præcis til at opsøge nulpunkterne for f.

Jeg antager, at der uændret er tale om samme konstanter a, b og c samt samme interval [16;26]. I modsat fald justerer du konstanterne og indretter et dertil passende grafregnervindue derefter.

//Epsilon

Svar #13
25. september 2005 af blister (Slettet)

Okay så det vil sige at hver gang g(x) og h(x) skærer hinanden, er det den sammen x- værdi, som når f(x) skærer første aksen.
Men det du mener, er altså at den bedste måde at finde disse skæringspunkter er ved at aflæse den ”direkte” på enten en printet graf, eller tegne den ind på lommeregneren og bruge ”følge” funktionen. Det skal lige siges at jeg har en graflommeregner, men bruger den stort set aldrig da jeg har mathcad.

Svar #14
25. september 2005 af blister (Slettet)

grunden til at der står ” i indlæget ovenover er at jeg skriver mine indlæg ind i word før jeg poster dem, for at slippe for de værste stavefejl. Grunden til ” opstanden er så at forummet ikke forstår word's gåsetegn.

” = "

Brugbart svar (0)

Svar #15
25. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#13:
Netop. Nulpunkterne for funktionen

f(x) = 1/(3+x) + c*sin(b*x - a)

er præcis x-koordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for de i #12 omtalte funktioner, g og h. Det følger direkte af, at

f(x) = h(x) - g(x)

Hvis ikke du er fortrolig med at bruge grafregneren til at bestemme skæringspunkter grafisk, kan MathCAD måske benyttes til at løse opgaven på tilsvarende vis. Jeg kan dog ikke assistere dig, hvad det angår.

//Epsilon

Svar #16
25. september 2005 af blister (Slettet)

Det undrer mig bare at der ikke er en matematisk måde, hvorpå man kan finde disse skæringspunkter. Men at man skal ty til en nomerisk metode?

Brugbart svar (0)

Svar #17
25. september 2005 af Epsilon (Slettet)

#16:
Ved første øjekast kan det godt synes underligt. Strengt taget kan jeg da heller ikke helt udelukke, at der findes alternative metoder. Men i så fald er de dog næppe simple.

Af årsagen nævnt i #12 tvivler jeg på, at man kan regne eksakt. Man kan ikke isolere x, når man søger nulpunkter:

0 = 1/(3+x) + c*sin(b*x - a)

fordi x både indgår rent - i leddet 1/(3+x) - og i sinusleddet.

Numeriske løsningsmetoder er ofte nyttige, ja undertiden ligefrem nødvendige. Hvis I blot skal bestemme nulpunkterne for f i et bestemt interval, må en numerisk løsning være fuldt ud tilstrækkelig.

//Epsilon

Skriv et svar til: moderæret sin funktions's skæring med x-aksen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.